La théorie de calcul - exercices 5, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

La théorie de calcul - exercices 5, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - exercices 5 sur la configuration. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le carré de centre O. les milieux respectifs des segments.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Paris 1 juin 1987 \

EXERCICE 1 5 points

Dans le plan orienté, on considère quatre points A, B, C, D distincts deux à deux. On note I le milieu de [BD], J le milieu de [AC] et O l’isobarycentre de (A, B, C, D). On construit les triangles rectangles isocèles ABM, BCN, CDP et DAQ tels que les

angles orientés (

−−→ MB ,

−−→ MA

)

, (

−−→ NC ,

−−→ NB

)

, (

−−→ PD ,

−−→ PC

)

et (

−−→ QA ,

−−→ QD

)

admettent pour me-

sure π

2 . On note K le milieu de [MP] et L le milieu de [NQ].

On se propose d’étudier la configuration (I, J, K, L). À cet effet, on pourra prendre un repère orthonormal direct d’origine O et introduire les affixes a, b, c, d de A, B, C, D, les affixes m, n, p, q deM, N, P, Q et les affixes f , g , k, l de I, J, K, L.

1. Déterminer le milieu de [IJ].

2. Prouver que m(1− i)= a − ib. Calculer de manière analogue n, p et q .

3. Déterminer l’isobarycentre de (M, N, P, Q). En déduire le milieu de [KL].

4. Effectuer une figure soignée en prenant

a =−2+2i, b =−2− i, c =−2i et d = 4+ i.

5. Soit r le quart de tour direct de centre O. Montrer que r (J) = K.

6. Caractériser les configurations (A, B, C, D) telles que I = J.

Indiquer alors la position de K et de L et la nature de (M, N, P, Q).

Ce cas étant écarté, prouver que (I, K, J, L) est un carré de centre O.

EXERCICE 2 4 points

Dans le planorienté, on considère un triangle rectangle isocèle ABC tel que (AB,AC )= π

2 modulo 2π.

On note I, J, K les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB].

1. On désigne par ΓA, ΓB et ΓC les cercles de diamètres respectifs [AI], [BI] et [CI].

a. Effectuer une figure : on dirigera (BC) suivant l’axe des abscisses et on prendra 8 cm pour longueur de [BC].

b. Soit r la rotation de centre I et d’angle ayant pour mesure π

2 . Déterminer

les images par r de ΓC et ΓA.

Par quelle transformation simple passe-t-on de ΓC à ΓB ?

2. Pour tout point M de ΓA distinct de I, J et K, on note N le point où la droite (MK) recoupe ΓB et P le point où la droite (MJ) recoupe ΓC.

a. Établir que les droites (IM) et (IP) sont orthogonales. (On pourra utiliser la cocyclicité des points A, M, I, J et des points C, P, I, J).

b. Déterminer les images par r de P et de M. En déduire que I est le milieu de [NP] et que le triangle MNP est rectangle isocèle. Préciser ce triangle sur la figure.

c. Déterminer une similitude directe transformant ABC en MNP.

1. Paris, Créteil, Versailles

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 points

Dans ce problème, on étudie la fonction f définie sur [ ; +∞[ par

f (x)= sinx

x si x > 0 et f (0)= 1

ce qui fait l’objet de la partie I. Dans la partie II, on décrit une méthode de calcul d’une valeur approchée de l’intégrale

J =

π

π

2

sinx

x dx.

Partie I Étude de la fonction f

1. Dérivation de f

Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et calculer la dérivée de f sur cet intervalle.

2. Signe de f

a. Déterminer les nombres réels x > 0 tels que f (x) = 0. On rangera ces nombres en une suite strictement croissante (a1, a2, · · · , ak , · · · ).

b. Étudier le signe de f

3. Encadrement de f

a. Prouver que pour tout nombre réel x > 0,

1

x 6 f (x)6

1

x .

En déduire la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞.

b. Déterminer les nombres réels x > 0 tels que f (x) = 1

x et ceux tels que

f (x)=− 1

x .

On rangera ces nombres endes suites strictement croissantes (b1, b2, · · · , bk , · · · ) et (c1, c2, · · · , ck , · · · ).

c. En déduire la position relative de la courbe représentative C de f et des

courbes représentatives H+ de x 7−→ 1

x et H− de x 7−→−

1

x .

Comparer les tangentes à C et H+ au point d’abscisse bk ainsi que les tangentes à C et H− au point d’abscisse ck .

4. Variations de f

a. Étudier le signe de x 7−→ tanx x sur ]

0 ; π

2

[

.

En déduire le signe de f ′ sur cet intervalle.

b. Prouver que pour tout entier k > 1, il existe un élément xk et un seul de ]

π

2 +;

π

2 +

[

tel que tanxk = xk ; montrer que xk > .

c. Endéduire le signede f ′ sur ]0 ; x1[, puis sur chaque intervalle ]xk ; xk+1[, où k = 1, 2, · · ·

5. Étude de f en 0

a. Prouver que, pour tout nombre réel x > 0,

06 x − sinx 6 x2

6

(Pour cela, on introduira la fonction ϕ définie sur [0 ; +∞[ par

ϕ(x)= sinx x + x3

6 .

on calculera les dérivées ϕ′, ϕ′′ et ϕ′′′ et on en déduira le signe de ϕ).

Paris 2 juin 1987

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f ′(0).

6. Courbe représentative de f

a. Dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle [0 ; 3π].

b. Tracer sur une même figure les courbes H+, H− et C en se limitant à l’intervalle [0 ; 3π] et placer les points ak , bk , ck et xk .

On utilisera les valeurs approchées

x1 ≈ 4,49 et x2 ≈ 7,73.

(Unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses, 3 cm sur l’axe des or- données,)

Partie II Approximation de l’intégrale J

1. Transformation de J

Pour tout élément u de [

π

2 ; π

]

, on pose

F (u)= ∫u

π

2

sin t

t dt .

et pour tout élément x de

[

0 ; 1

2

]

on pose

G(x)= ∫x

0

sinπt

1− t dt .

a. Prouver que pour tout élément x de

[

0 ; 1

2

]

:

G(x)= F (π)−F [π(1− x)].

(On pourra comparer les dérivées des deux membres.)

b. En déduire que

J =

∫ 1 2

0

sinπt

1− t dt .

2. Approximation de J

Soit (un ) la suite définie par :

u0 =

∫ 1 2

0 sinπt dt et si n > 1, un =

∫ 1 2

0 t n sinπt dt .

a. Prouver que, pour tout n > 1,

J = u0+u1+·· ·+un−1+ rn .

rn =

∫ 1 2

0

t n sinπt

1− t dt .

b. Établir que, pour tout élément t de

[

0 ; 1

2

]

t n sinπt

1− t 6 2t n

En déduire une majoration simple de rn .

Paris 3 juin 1987

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

c. Montrer que

J = lim n→+∞

(u0+u1+·· ·+un−1) .

3. Calcul des intégrales un

a. Calculer u0 et u1.

b. Établir que pour tout entier n > 2,

un = 1

π2

[ n

2n−1 −n(n−1)un−2

]

.

4. Conclusion

À partir des résultats obtenus en 2. et 3., indiquer uneméthode de calcul d’une valeur approchée de J à la précision 10−2. (On ne demande pas d’effectuer ce calcul.)

Paris 4 juin 1987

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