La transformation - travaux pratiques de sciences mathématiques 2, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 2 sur la transformation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature et les éléments caractéristiques de la transformation, les variations de la fonction définie...
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[ Baccalauréat C Mexico juin 1968 \

Exercice 1

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation du plan complexe définie par

z ′ = (1− i)z +4i.

Exercice 2

En étudiant les variations de la fonction définie par

y(x)= x −1

x +1 −e−2x

(dont on ne construira pas le graphe), montrer que, dans l’ensemble des nombres réels positifs, l’équation

(x −1)ex − (x +1)e−x = 0

admet une racine réelle et une seule.

Exercice 3

À un couple ordonné de vecteurs −→

V , −→

V ′ du plan on associe le vecteur −→

V1 défini par

(

−→

V , −→

V1

)

=+

π

2 (mod.2π) et

−→

V1

∣=

−→

V

∣ .

Le produit scalaire −→

V1 · −→

V ′ sera nommé produit aréolaire des vecteurs −→

V et −→

V ′ et

noté −→

V ∆ −→

V ′ .

1. Montrer que −→

V ∆ −→

V ′ =− −→

V ′ ∆ −→

V .

Soit −−→

AB = −→

V et −−→

AC = −→

V ′ ; montrer que ∣

−→

V ∆ −→

V ′ ∣

∣ est égal au double de l’aire

du triangle ABC et que −→

V ∆ −→

V ′ est positif ou négatif, suivant que le triangle orienté ABC a le sens positif ou le sens négatif [c’est-à-dire suivant le signe de

la détermination principale de (

−−→

AB , −−→

AC )

.

On appellera aire algébrique du triangle −−−→

ABC et l’on désignera par ABC lamoi- tié de ce produit aréolaire :

ABC= 1

2

−−→

AB∆ −−→

AC .

2. Montrer que le produit aréolaire est distributif par rapport à l’addition des vecteurs coplanaires. En déduire que, si

−→

AR = −−→

AB + −−→

AC et −→

AS = −−→

AD −→

AE ,

on a

ARS=ABD+ABE+ACD+ACE.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Étant donné un triangle ABC et un point M quelconque du plan, on désigne par A′, B′, C′ les milieux respectifs de BC, CA, AB, par α, β, γ les projections or- thogonales de M respectivement sur BC, CA, AB, par A′′,B′′, C′′ les symétriques de M par rapport aux médiatrices respectives de BC, CA, AB et par O le centre et R le rayon du cercle circonscrit à ABC.

Démontrer que les angles (

−−→

OA , −−→

OA” )

, (

−−→

OB , −−−→

OB” )

, (

−−→

OC , −−−→

OC” )

ont la même

bissectrice (on pourra montrer que les triangles OAB′′ et OBA′′ sont directe- ment égaux).

En déduire que le triangle A′′B′′C′′ est l’image de ABC par le produit d’une homothétie et d’une symétrie axiale.

4. Déduire des questions précédentes que

(1) A′′B′′C′′ =− OM2

R2 ABC.

Soit I, J et K les milieux res :pectifs de MA′′, MB′′, MC′′. Montrer que

(2) αβγ=A′B′C′+ IJK.

(On pourra, pour cela, utiliser la relation = MA′− MI et les résultats des questions 1 et 2.)

Montrer enfin que

(3) αβγ= 1

4

(

1− OM2

R2

)

ABC.

et en déduire l’ensemble des points M pour lesquels α, β et γ sont alignés.

NOTA - On peut traiter la question 3 avant les questions 1 et 2.

México 2 juin 1968

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