Le barycentre G du système – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 16, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Le barycentre G du système – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 16, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Le barycentre G du système – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer et construire l’ensemble (¡) des points M, le repère orthonormé.
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[ Baccalauréat C novembre 1990 \ Nouvelle-Calédonie

EXERCICE 1 4 points

Soit (ABC) un triangle rectangle en A, tel que AB = a et AC = 3a (où a > 0). On fera une figure en prenant a = 2 cm.

1. Construire le barycentre G du système {(A, −5)(B, 6)(C, 2)}.

2. Calculer GA2, GB2 et GC2 en fonction de a.

3. Déterminer et construire l’ensemble (Γ) des points M vérifiant

−5MA2+6MB2+2MC2 = 12a2.

EXERCICE 2 4 points

À tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe f (z) défini par :

f (z)= 2z z .

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On fera une fi-

gure en prenant 1 cm pour unité. Soit (C ) le cercle de centreΩ(3 ; 0) et de rayon 3.

1. a. Déterminer l’ensemble (E ) des points M d’affixe z tels que | f (z)−3| = 3.

Préciser la nature de (E ) et ses éléments caractéristiques : centre, axes, sommets, excentricité, foyers et directrices.

b. Représenter (E ).

2. Soient P le point d’affixe 3ei π

3 et Q le point dont l’affixe α vérifie f (α)= 3ei π

3 .

a. Montrer que P appartient à (C ) et en déduire que Q appartient à (E ).

b. Déterminer α et donner sa forme trigonométrique. Faire figurer P et Q sur le dessin.

PROBLÈME 12 points

Partie I

On se propose de résoudre l’équation différentielle

(E) y ′−2y =− 2

1+e−2x .

1. Déterminer la solution de l’équation y ′−2y = 0 qui prend la valeur 1 en 0.

2. Soit f une fonction dérivable sur R, telle que f (0)= ln(2), et soit g la fonction définie par l’égalité

f (x)= e2x g (x).

a. Calculer g (0).

b. Calculer f ′(x) en fonction de g ′(x) et de g (x).

c. Montrer que f est solution de E si, et seulement si

g ′(x)= −2e−2x

1+2−2x .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

d. En déduire l’expression de g (x), puis celle de f (x) de telle sorte que f soit solution de (E).

Partie II

Étude sur R de la fonction f définie par

f (x)= e2x ln (

1+e−2x )

.

1. On pose : h(x)= ln (

1+e−2x )

.

a. Étudier la limite de h en +∞.

b. Étudier le sens de variation de h.

c. En déduire le signe de h(x) pour tout x réel.

2. Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x) est du signe de h(x).

3. Étudier la limite de f en +∞.

Montrer que f (x)= e2x [

−2x + ln (

1+e2x )]

.

En déduire la limite de f en −∞.

4. Dresser le tableau de variations de f .

5. Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthonormé en pre- nant 5 cm pour unité. Préciser la tangente au point d’abscisse nulle.

Partie III

1. En remarquant que 1

1+e−2x =

e2x

1+e2x déterminer une primitive de la fonction

x 7−→ 1

1+e−2x .

2. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’aire (en cm2) de la portion de plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f définie au II., et les droites d’équations x =−1 et x = 0.

Ondonnera la valeur exacte de cette aire, ainsi qu’une valeur approchée à 10−3

près.

Partie IV

On définit la suite (un ) par u0 = 0 et un+1 = f (un) pour tout n > 0 (où f est la fonc- tion définie au II.).

1. Montrer que f ([0 ; 1]) ⊂ [0 ; 1], et en déduire que, pour tout n > 0, on a un ∈ [0 ; 1].

2. Montrer, par récurrence, que la suite (un ) est croissante. En déduire qu’elle converge.

3. Soit α sa limite. Montrer que f (α)=α et α ∈ [0 ; 1].

4. Grâce à la représentation graphique de f , donner une valeur approchée de α à 10−1 près.

Nouvelle-Calédonie 2 novembre 1990

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