Le carré direct de centre I – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 17, Exercices de Géométrie Algorithmique
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Eusebe_S10 avril 2014

Le carré direct de centre I – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 17, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Le carré direct de centre I – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: A et B les images deMpar r et s, C et D les images de N par r et s.
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[ Baccalauréat C Paris–Créteil–Versailles juin 1990 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Dans le plan orienté on suppose donnés deux points distincts O et I. On note r le quart de tour direct de centre O et s la symétrie centrale de centre I. I.

1. Soit OJO′G le carré direct de centre I c’est-à-dire que (

−→ OI ,

−−→ OG )=

π

2

)

. PIacer

ces différents points sur une figure (on prendra OI = 4 cm).

2. Prouver que s r est la rotation de centre J d’angle − π

2 .

3. En déduire que J est le seul point du plan tel que r (J) = s(J).

Désormais, pour tout couple (M, N) de points du plan, on note,

A et B les images deM par r et s ;

C et D les images de N par r et s.

II. Soit M un point donné distinct de J. On suppose que J est le milieu du segment [MN]. Démontrer que ABCD est un carré de centre G. Placer M et N et le carré ABCD sur la figure.

III. Le point M étant toujours donné distinct de J, on suppose inversement que N est tel que ABCD soit un carré. Prouver que J est le milieu de [MN] et que G est le centre du carré ABCD (on introduira le milieu J′ de [MN] et le centre G′ du carré ; on comparera alors r (J′) et s(J′). Soit r ′ le quart de tour direct de centre G. Prouver que r ′◦r = s. En déduire que sous les hypothèses de la question II, le carré ABCD est direct (c’est-à-dire que r ′(A) = B).

EXERCICE 2 4 POINTS

A D

C

C′B′

A′ D′

B

ABCDA′ B′C′D′ est un cube (voir figure). On note, s1 la réflexion de plan (AA′BB′) ; s2 la réflexion de plan (BB′CC) ; s3 la réflexion de plan (CCDD′) ; s4 la réflexion de plan (DD′AA′). I.

1. Montrer que r ′ = s2 ◦ s1 est un demi-tour dont on précisera l’axe.

2. Déterminer de même la nature de r ′′ = s4 ◦ s3.

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

II.

1. On note s la réflexion de plan (BB′ DD′).

Déterminer les réflexions s′ et s′′ telles que, r ′ = s s′ et r "= s4 ◦ s3.

2. En déduire que t = r ′′ ◦ r ′ est la translation de vecteur 2 −−→ BD .

PROBLÈME 11 POINTS Partie A.

Le but de cette partie est d’étudier la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f (x)= x lnx

x+1 si x > 0 et f (0)= 0.

I. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.

II.

1. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

ϕ(x)= lnx+ x+1.

Étudier les variations deϕ. Établir que l’équation ϕ(x)= 0 admet une solution β et une seule, et que 0,27 6 β6 0,28. (On ne demande pas de construire la courbe représentative de ϕ.)

2. Pour x > 0, exprimer f ′(x) à l’aide de ϕ(x). En déduire les variations de f .

III. Déterminer la limite de f en +∞, puis la limite de lnxf (x) lorsque x tend vers +∞.

IV. Construire les courbes représentatives C de f et Γ de x 7−→ lnx dans le plan

rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

[unité graphique 4 cm].

Partie B. On se propose d’étudier l’équation f (x)= 1 À cet effet on introduit la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)= e ·e 1 x .

I.Montrer que l’équation f (x)= 1 admet une solutionα et une seule, et que 3,5 6 α 6 3,7. Placer le point de C d’abscisse α.

II.

1. Prouver que l’équation f (x)= 1 équivaut à l’équation g (x)= x.

2. Étudier la monotonie de g .

3. Prouver quepour tout élément x de [3,5 ; 3,7], g (x) appartient aussi à [3,5 ; 3,7].

4. Établir que pour tout élément x de [3,5 ; 3,7]

g ′(x) ∣

∣6 ∣

g ′(3,5) ∣

∣6 1

3

En déduire que

|g (x)−α|6 1

3 |xα|.

Paris–Créteil–Versailles 2 juin 1990

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

III. Soit (un ) la suite d’éléments de [3,5 ; 3,7] définie par la relation de récurrence un+1 = g (un ) et la condition initiale u0 = 3,5.

1. Montrer que pour tout entier n> 0

|un α|6 1

5 · 1

3n

En déduire la limite de (un ).

2. Donner une valeur décimale approchée de α à 10−3 près.

Partie C

On se propose d’étudier l’équation f (x)=n, où n est un entier naturel non nul.

I. Montrer que, pour tout n, cette équation admet une solution αn et une seule (en particulier, α1 =α).

II. Comparaison de αn à en .

1. Établir que f (en)6n. En déduire que αn > en .

2. Prouver que la relation f (αn )=n peut s’écrire sous la forme :

ln (αn

en

)

= n

αn (1)

3. En déduire, à l’aide de 1., la limite de αn

en lorsque n tend vers l’infini.

III. Comparaison de αn à en +n. On écrit αn sous la forme

αn = e n (1+ǫn ) où ǫn > 0 (2)

1. À l’aide de (1), exprimer (1+ǫn ) ln(1+ǫn ) en fonction de n.

2. Établir que pour tout t > 0

06 (1+ t) ln(1+ t)− t 6 t2

2 .

3. Déduire de (1) et (2) que pour tout n> 1

ǫn 6 ne −n

6 ǫn + ǫ2n

2 ,

puis que

06 ne−n ǫn 6 n2

2 e−2n (3)

4. À l’aide de (2) et (3), déterminer la limite de en +n αn lorsque n tend vers +∞.

Paris–Créteil–Versailles 3 juin 1990

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