Le milieu du segment – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 7, Exercices de Géométrie Algorithmique
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Eusebe_S10 avril 2014

Le milieu du segment – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 7, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Le milieu du segment – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s. Construire le point C du plan.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Antilles–Guyane septembre 1990 \

EXERCICE 1 4 points

1. a. Montrer que

lim n→+∞

ln(n+2−n)

2n = 0.

b. En déduire que

lim n→+∞

ln(1+n2n )

2n =

ln2

2 .

2. Pour tout entier naturel n, on pose

un =

∫1

0

2nx

1+2nx dx.

a. Calculer u0.

b. Calculer un pour tout entier n supérieur à 1.

c. En utilisant les questions précédentes, déterminer

lim n→+∞

un .

EXERCICE 2 4 points

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on considère l’ap-

plication f , qui associe, au point M d’affixe z, le point M′ d’affixe z ′ tel que

z ′ = iz.

1. Montrer que f = R S S est la rélexion d’axe (

O, −→ u

)

et R une rotation dont

on précisera les éléments.

2. Enutilisant unedécompositiondeR en composéededeux réflexions,montrer que f est une réflexion dont on précisera l’axe.

3. Soit g l’application du plan dans lui-même qui, au point M d’affixe z, associe le point M′′ d’affixe z ′′ tel que

z ′′ = iz+1+ i.

a. Caractériser l’application T telle que g = T f .

b. En déduire une construction géométrique, pour tout point M du plan, du point M′′, image deM par g .

c. Montrer que, pour tout point M du plan, le milieu du segment [MM′′] appartient à une droite fixe.

PROBLÈME 12 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

unité : 4 cm. On note A le

point de coordonnées (1 ; 0) et A′ le point de coordonnées (−1 ; 0).

Soit F l’application qui, à tout point M du plan privé de la droite (

O, −→ ı

)

fait corres-

pondre le point M′ orthocentre du triangle OAM. I.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Déterminer l’image par F :

a. de la droite (

O, −→

)

privée de O ;

b. de la parallèle D à la droite (

O, −→

)

passant par A privée de A ;

c. du cercle de diamètre [OA] privé des points O et A.

2. Montrer que, dans le planprivé des droites (

O, −→ ı

)

et (

O, −→

)

, l’applicationFF

est l’application identique.

II. Dans cette partie, on se propose d’étudier l’image par F , notée S*, du cercle de centre O passant par A privé des points A et A′, noté C∗.

1. Représentation paramétrique de S

Soit M un point de C∗, on note t la mesure principale de l’angle (

−−→ OA ,

−−→ OM

)

.

a. Montrer que l’angle (

−−→ OA ,

−−−→

OM′ )

a pour mesure t

2 modulo π.

b. Soit S la courbe dont une représentation paramétrique est :

{

x = f (t) = cos t

y = g (t) = cos t · tan t

2 .

t ∈]−π ; π[

Montrer que S∗ est la courbe S privée de A.

2. Construction de S

a. Montrer que l’on peut réduire l’étude des fonctions f et g à l’intervalle [0 ; π[.

b. Calculer g ′(t) et donner son expression en fonction de u = tan t

2 .

On rappelle que : cos t = 1−u2

1+u2 et sin t =

2u

1+u2 .

Étudier le signe de g ′(t) sur l’intervalle [0 ; π[. (On pourra poser X =u2.)

Donner les valeurs exactes de f (α) et g (α) où α est le réel de [0 ; π[ tel que

g ′(α)= 0.

c. Dresser le tableau des variations simultanées de f et g sur l’intervalle [0 ; π[.

Déterminer le point de S de paramètre π

2 et la tangente en ce point à la

courbe S.

Déterminer les points d’intersection de S∗ et C∗.

d. Tracer la courbe S.

Antilles–Guyane 2 septembre 1990

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