Le nombre complexe - exercices de sciences mathématiques 5, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de sciences mathématiques 5 sur le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la partie imaginaire de Z, l’équation, la solution géométrique.
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[ Baccalauréat Amérique du Sud mars 1968 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

Exercice 1

On considère le nombre complexe z = x + iy et Z2 l’on forme

Z = z2

1− z 1. Calculer la partie imaginaire de Z en fonction de x et y .

m étant le point image de z, quel est l’ensemble des points m pour lesquels Z est réel ?

2. On désigne le module de z par r , son argument par θ.

Quels sont le module et l’argument de 1

z2 et de

1

z ?

Exprimer Z en fonction de r et θ.

En déduire l’ensemble des points m pour lesquels 1

Z est réel.

Exercice 2

Résoudre l’équation

cosx + p 3sinx = 2.

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’origine O. (C ) est le cercle de centre O et de rayon R.

1. Étant donné un point M (

x0 ; y0 )

extérieur à (C ), on appelle (CM ) le cercle de centre M orthogonal à (C ). Indiquer une construction géométrique de (CM ).

Calculer la puissance de M par rapport au cercle (C ) en fonction de x0, y0 et R.

Écrire l’équation du cercle (CM)’

2. Soit (D) la polaire d’un point P (

x1 ; y1 )

par rapport à (CM ).

Indiquer une construction géométrique de (D).

Montrer que l’équation de (D) est

(x1− x0)x + (

y1− y0 )

y x0x1− y0y1+R2 = 0.

3. On suppose que (D) a pour équation y = R. Étant donné un point P

(

x1 ; y1 )

, existe-t-il un point M (

x0 ; y0 )

tel que (D) soit la polaire de P par rapport à (CM ) ?

Donner une solution géométrique, dont on retrouvera le résultat en utilisant l’équation proposée au 2.

4. (D) est définie comme au 3. ; P décrit la droite y = x +2R. Trouver l’équation de l’ensemble, (Γ), des points M tels que (D) soit la polaire de P par rapport à (CM ). Représenter graphiquement (Γ).

Cette courbe coupe Ox en deux points, d’abscisses x′ et x′′ (x′′ > 0). Calculer l’aire limitée par (Γ), l’axe des x et les points d’abscisses x′ et x′′.

On calculera, au préalable, la dérivée de Log |x +k|, k étant une constante.

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