Le point d’inflexion - travaux pratiques de sciences mathématiques 4, Exercices de Mathématiques Appliquées

Le point d’inflexion - travaux pratiques de sciences mathématiques 4, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 4 sur le point d’inflexion. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le sens de la concavité de la courbe, la forme générale des entiers naturels.
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[ Baccalauréat C (oral) Montpellier juin 1968 \

Exercice 1

Étudier et représenter. graphiquement la fonction

y = x

Log x −1 .

Déterminer le point d’inflexion. Étudier le sens de la concavité de la courbe.

Exercice 2

Ondonne deux droites perpendiculaires, x′Ox, y ′Oy , et, sur x′Ox, deux points fixes, P et P′, situés de part et d’autre du point O et non symétrique l’un de l’autre par rapport à ce point. Un point I varie, dans le plan des deux droites données, en restant constamment équidistant des points P et P′. Les droites IP et IP′ coupent la droite y y respective- ment en A et A′. Soit C et C′ les centres des cercles (C ) et

(

C ′ )

circonscrits respective- ment aux triangles POA et P′ON.

1. Quelle est la nature du quadrilatère OCIC′ ?

2. Démontrer que l’un des centres d’homothétie des cercles (C) et (

C ′ )

reste fixe quand le point I varie.

3. Quel est, dans lesmêmes conditions, l’ensemble des positions de l’autre centre d’homothétie de ces deux cercles ?

Les questions posées à un même candidat sont comprises entre deux traits.

Exercice 1

En utilisant la théorie des congruences, déterminer la forme générale des entiers naturels n tels que

n3−n+1

soit divisible par 7.

Exercice 2

On donne un cercle (C), de centre O et de diamètre AB = 2R, et une droite (D) paral- lèle à AB et coupant ce cercle. On prend sur (D) un point quelconque, S ; les droites SA et SB recoupent (C) respectivement en A′ et B′. En utilisant une inversion de pôle S et de puissance convenablement choisie, dé- montrer que le cercle (Γ) circonscrit au triangle SA′B′ est orthogonal au cercle (O) et tangent à la droite (D).

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