Le repère orthonormé d’axes - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

Le repère orthonormé d’axes - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur le repère orthonormé d’axes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la puissance de l’inversion de centre I, l’équation en z, à coefficients complexes, les racines réelles de cette...
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[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand septembre 1971 \

EXERCICE 1

Dans un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , on donne un cercle (C ), de centre

ω(2 ; 0) et de rayon 2, et un cercle (

C ′ )

, de centreω′ situé sur x′Ox, tel que ωω= 6 et

de rayon 4. Soit I le centre d’homothétie directe de ces deux cercles.

1. Calculer −→ OI .

Calculer la puissance de l’inversion de centre I transformant (C ) en (

C ′ )

.

2. Soit (Γ) le cercle de centre γ(0 ; b) et de rayon |b|. Ce cercle coupe (C ) et (

C ′ )

respectivement en A et en A′, distincts de l’origine. Montrer que la droite AA′

passe par I.

EXERCICE 2

Exprimer la distance d’un point, de coordonnées X ,Y , aux droites (D) et (

D ′ )

qui,

dans un repère orthonormé d’axes Ox, Oy , ont respectivement pour équation

x +2y = 0 et −2x + y = 0.

Reconnaître et construire, dans ce même repère, la courbe (R) d’équation

(x +2y)(−2x + y)= 5.

PROBLÈME

1. On considère l’équation en z, à coefficients complexes,

(1) (16tg2θ)z2−4(1+2itgθ)z − (tgθ− i)2 = 0,

θ est un paramètre réel tel que

π

2 < θ <+

π

2

a. Chercher les racines réelles de cette équation.

Discuter. Montrer que dans tous les cas il y en a une, et une seule, r0.

b. Chercher toutes les racines de l’équation (1). Discuter.

2. Soit z0 = x + iy la racine, lorsqu’elle existe, complexe non réelle de l’équation (1).

On lui fait correspondre, dans unplan rapporté à un repère orthonorméd’axes

Ox, Oy , son point image M , de coordonnées x et y .

Déterminer l’ensemble des points M images des nombres z0, pour toutes les

valeurs de θ appartenant à l’intervalle ]

π

2 ; +

π

2

[

.

Construire avec précision cet ensemble.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Soit, tracée dans le repère orthonormé de la question précédente, (P ) la pa- rabole de représentation paramétrique suivante :

x = 1

4

(

cotg2 θ−1 )

,

y = 1

2 cotgθ,

π

2 < θ <+

π

2

Soit A le sommet de cette parabole et (D) la droite d’équation x =− 1

2 .

a. Soit (∆) une droite du plan, passant par A, et distincte de l’axe Ox et de la tangente au sommet de (P ). Soit m la pente de (Ll). La droite (Ll) re-

coupe (P ) en un point M , distinct de A ; exprimer, en fonction de m, les

coordonnées de M .

Soit (

∆ ′ )

la perpendiculaire en A à la droite (∆).

La droite (

∆ ′ )

recoupe aussi (P ) en un point M ′, distinct de A ; exprimer,

en fonction de m, les coordonnées de M ′.

b. Soit B la projection orthogonale de O sur (D) et H et H’, respectivement,

celles de M et de M ′ sur (D). Démontrer que le produit BH ·BH′ est indé-

pendant de la position de la droite (∆).

c. Démontrer géométriquement que les cercles circonscrits aux triangles OHH′ associés aux diverses positions de la droite (∆) appartiennent un

faisceau, dont on précisera la nature et les points remarquables. Quel est

l’ensemble des centres de ces cercles ?

d. Calculer les coordonnées du point d’intersection, T, des tangentes à (P ) aux points M et M ′.

Montrer que ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle OHH′.

e. Retrouver ainsi que les cercles circonscrits aux triangles OHH′, associés aux diverses positions de la droite (∆), appartiennent à un même fais-

ceau.

4. Démontrer que la droite M M ′ passe par un point fixe I lorsque (∆) varie.

Calculer le rapport IM

IM en fonction de m, puis en fonction de θ.

Pour quelles valeurs de m et de θ, ce rapport est-il égal à 1

4 ? On calculera ces

valeurs de θ à l’aide d’une table de logarithmes et l’on donnera le résultat en

degrés, minutes et secondes. On construira les points M correspondants et

l’on rectifiera alors, si nécessaire, le tracé de la parabole (P ).

Clermont-Ferrand 2 septembre 1971

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