Le repère orthonormé - exercices de sciences mathématiques 3, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de sciences mathématiques 3 sur le repère orthonormé. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées des points de bases du faisceau, les démonstrations.
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[ Baccalauréat algérien 1 septembre 1968 \ SÉRIES MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES ET

MATHÉMATIQUES ET TECHNIQUE

m EXERCICE 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on donne les cercles (C ) et (

C ′ )

, d’équations respectives

(C ) x2+ y2−6x −2y +1 = 0, (

C ′ )

x2+ y2+2x −4y +1= 0.

Existe-t-il un cercle de centreO, origine des coordonnées, orthogonal aux cercles (C ) et

(

C ′ )

? Écrire l’équation de l’axe radical des cercles (C ) et

(

C ′ )

. Calculer les coordonnées des points de bases du faisceau déterminé par les cercles (C ) et

(

C ′ )

.

EXERCICE 2

Dans le plan on donne un point fixe O.

1. Quel est le produit de deux rotations de centre O ? Quel est le produit d’une rotation de centre O et d’une symétrie par rapport à une droite passant par le point O ?

Faire les démonstrations et préciser complètement les résultats.

2. L’ensemble (E) formé par les rotations de centre O et les symétries par rap- port aux droites passant par le point O est-il un groupe pour la composition des transformation ?

3. On donne un point fixe, A. Quel est l’ensemble des points homologues de A pour toutes les transformations de l’ensemble (E) ?

EXERCICE 3

1. a. Rappeler brièvement pour quelles raisons il existe un nombre réel, x, et un seul tel que

x3 = 1

4 .

Calculer une valeur approchée de ce nombre à 10−2 près.

b. Quel est l’ensemble des nombres réels x tels que

1−2x p

x > 0?

2. On considère la fonction f de la variable réelle x définie par

f (x)= y = 2 p

x

x p

x +1

1. Le programme de ce baccalauréat et la nature des épreuves ne sont pas nécessairement les mêmes que ceux du baccalauréat français

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Quel est son ensemble dedéfinition ? Étudier ses variations et tracer avec soin sa courbe représentative, (C ), dans un repère orthonormé (unité : 4 cm).

Calculer la limite de f (x) lorsque x → 0 et en déduire la tangente à la courbe (C ) au point O origine des coordonnées.

3. Étant donné un nombre réel, a, on appelle (Pa ) la courbe représentative, dans le repère précédent, de la fonction de la variable réelle x définie par y = a

p x.

Discuter, suivant les valeurs de a, le nombredes points communs aux courbes (C ) et (Pa ). Construire dans le repère précédent la courbe (P2) correspondant à la valeur a = 2.

4. Calculer la dérivée de la fonction u de la variable réelle x définie par

u(x)= x p

x +1.

En déduire une primitive de la fonction f de la question 2 ?

Calculer, en centimètres carrés, l’aire du domaine délimité par les courbes

(C ) et (P2) et la droite d’équation 1 x = 1

4 ·

N. B. - Il sera tenu compte de la clarté de la présentation et de la précision des justi- fications qui seront données. Les calculs numériques doivent figurer sur la copie.

Algérie 2 septembre 1968

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