Les coordonnées d’un point variable - travaux pratiques de sciences mathématiques 13, Exercices de Mathématiques Appliquées

Les coordonnées d’un point variable - travaux pratiques de sciences mathématiques 13, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 13 sur les coordonnées d’un point variable. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la trajectoire de ce mobile, la longueur de son vecteur vitesse, les nombres réels ...
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Strasbourgoraljuin1968.dvi

[ Baccalauréat C (oral) Strasbourg juin 1968 \

Exercice 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les coordonnées d’un point variable M sont, définies en fonction du temps, t , par les formules suivantes :

{

x = a(1+cos2t), y = b sin2t , (a > b > 0).

1. Quelle est. la trajectoire de ce mobile ?

2. Calculer, en fonction de t , la longueur de son vecteur vitesse.

3. Déterminer l’hodographe dumouvement du point M .

Exercice 2

Soit (E) l’ensemble des points du plan rapporté à un repère orthonormé dont les coordonnées, x et y , satisfont la relation suivante :

y2 = ax2+bx +c, où a,b et c désignent des nombres réels donnés. Étudier, suivant les signes de a et de 4ac b2, la nature de l’ensemble (E).

Exercice 3

On considère, dans le plan complexe, deux points fixes, A et B, d’affixes a et b, et un point variable M , d’affixe z. Soit Z le nombre complexe défini par

Z = z a z b

1. Déterminer l’ensemble des points M tels que Z ait un module, r , donné.

2. Déterminer l’ensemble des points M tels que Z ait un argument θ donné (à près).

3. Déduire de ce qui précède la construction du point M tel que, c étant l’affixe

d’un point donné C, Z soit le complexe conjugué de c a c b

.

Les questions posées à un même candidat sont comprises entre deux traits.

Exercice 1

1. On considère la transformation qui, dans le plan rapporté à un repère ortho- normé, fait correspondre au point M(x ; y) le point M ′ tel que

{

x′ = x y +2, y ′ = X + y −3.

Montrer, en exprimant z ′ = x′+ iy ′ en fonction de z = x + iy , que cette trans- formation est une similitude directe,S1 dont on précisera le centre, le rapport et l’angle.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Identifier de façon analogue la transformation S2 définie par

x′ = p 2

4 x

p 6

4 y,

y ′ = p 6

4 x +

p 2

4 y.

3. Définir géométriquement, puis, par utilisation des nombres complexes, les transformations

R =S1 ◦S2 et R′ =S2 ◦S1.

En déduire sin π

12 et cos

π

12 .

Exercice 2

Un ensemble E a une structure de groupe par une loi de composition interne, notée ⋆. On pose, ∀a ∈ E a a = a2 et, de façon générale,

a a a . . .⋆a = an .

Montrer que, si l’on a

a ∈E, ∀b ∈ E, (a b)2 = a2⋆b2.

le groupe est commutatif. En raisonnant par récurrence, montrer que l’on a alors

(a b)n = an bn .

Résoudre, dans ce groupe abélien, l’équation suivante :

(a b)2⋆ x2⋆a b2 = c x ⋆ (a b)3.

Exercice 3

Dans une rotation, R, de centre A et d’angle α, tout point M du plan se transforme en un point M ′. Soit I un point fixe du plan.

1. Déterminer l’ensemble, (E), des points M tels que la droite M M ′ passe par le point I.

2. Déterminer l’ensemble, (

E′1 )

, des points M tels que, k étant une constante po-

sitive donnée, l’on ait IM

IM ′ = k et l’ensemble,

(

E′2 )

, des points M tels que, θ

étant donné, compris entre 0 et 2π, l’on ait

(

IM , IM ′ )

= θ (mod.π).

[Pour la recherche de (

E′1 )

et (

E′2 )

, on pourra utiliser le point I′, transformé de I par la rotation R.]

Strasbourg 2 juin 1968

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Exercice 1

On considère, dans le plan complexe, l’inversion (I ), de pôle O et de puissance k2 ; cette inversion transforme tout point M , d’affixe z nonnulle, en unpoint M ′ , d’affixe z ′.

1. Montrer que, z désignant le complexe conjugué de z, on a

z ′ = k2

z .

2. À l’aide de cette relation montrer que (I ) est une transformation involutive ; chercher l’ensemble des points invariants ; définir le produit de deux inver- sions positives de pôle O, ainsi que le produit de (I ) et d’une homothétie de centre O.

Chercher enfin les figures transformées par (I ) des cercles de centre O et des droites du faisceau de sommet O.

Exercice 2

1. On considère la fonction

y1 = 4e2x+3−6 6e2x+3+3

.

Calculer la dérivée, y ′1, de y1 par rapport à x, puis, en posant e 2x+3 = X , calcu-

ler la dérivée de y1 par rapport à X et retrouver le résultat précédent.

2. D’une façon analogue, étant donné la fonction

y1 = 4e−2x−3−6 6e−2x−3+3

.

calculer de deux façons la dérivée, y ′1, de y2 par rapport à x.

3. Soit la fonction

y = 4e|2x+3|−6 6e|2x+3|+3

.

Étudier la continuité et la dérivabilité de cette fonction au point d’abscisse

x =− 3

2 .

Exercice 3

Onconsidère la transformationponctuelleT qui, dans un repère orthonormé (Ox, Oy), peut faire correspondre au point M , d’affixe z, le point M ′, d’affixe

z ′ = (α+βi)z + (1−λi), α+β,λ ∈R.

1. Déterminer α et β de telle façon que T soit une similitude directe de rapport

2 et d’angle 3π

2 .

Strasbourg 3 juin 1968

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Les paramètresα etβ étant ainsi fixés, déterminer, lorsque λ varie, l’ensemble des centres de ces similitudes.

Déterminer λ de façon que la droite Oy se transforme en la droite Ox.

La similitude est alors parfaitement définie ; soit Ω son centre. Deux points distincts, A et B, de Oy se transforment en deux points distincts, A′ et B′, de Ox.

Montrer géométriquement que les cercles (OAA′) et (OBB′) se recoupent enΩ.

Exercice 1

Déterminer deux entiers naturels, a et b (a < b), ayant pour somme 264 et pour plus grand commun diviseur 12.

Exercice 2

1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, x′Ox, y ′Oy , on désigne par µ le symétrique d’un point m(x ; y) par rapport à la première bissectrice des axes de coordonnées et par m′ le symétrique du point µ par rapport à l’axe xx.

Calculer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

du point m′ en fonction des coordonnées (x ; y) du point m.

Quelle est la transformation qui fait passer de m à m′ ?

2. Soit T la transformation dans laquelle le point m(x ; y) a pour transformé le point M(X ; Y ) tel que

{

X = 1+ y, Y = 1− x.

Montrer que cette transformation est une rotation, dont on précisera le centre et l’angle.

Exercice 3

Énoncer le théorème de Gauss.

Exercice 4

Calculer l’intégrale indéfinie suivante :

1

xLog x dx.

Strasbourg 4 juin 1968

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