Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 13, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 13, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 13 sur l’équation différentielle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer la valeur exacte de V, Montrer que O est le milieu de [PQ], Tracer la courbe repré...
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[ Baccalauréat S Polynésie septembre 1997 \

EXERCICE 1 5 POINTS

1. Résoudre l’équation différentielle :

(E y ′′−5y ′+4y = 0.

2. Déterminer la solution particulière f de (E) dont la courbe représentative

dans le plan muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

admet pour tangente

au point d’abscisse 0 la droite d’équation y =−2x+1. 3. On pose u(x)= 2ex −e4x . Résoudre dans R l’inéquation u(x)> 0. 4. On considère la partie de la courbe d’équation y = u(x) pour −16 x 6 0. En

la faisant tourner autour de l’axe des abscisses, on délimite un solide dont le

volume est mesuré en unités de volume par l’intégrale

V =π ∫0

−1 [u(x)]2 dx.

Calculer la valeur exacte de V .

EXERCICE 2 5 POINTS Enseignement de spécialité

Partie A

Soient, dans l’espace E , 4 points A, B, C et D distincts deux à deux.

1. Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, D est le bary- centre du système {(A ; 1), (B ; −1), (C ; 1)} .

2. On suppose que ABCD est un parallélogramme. Déterminer l’ensemble (S)

des points M de l’espace E tels que ∥

−−→ MA −−−→ME +−−→MC

∥=BD.

3. On suppose maintenant que ABCD est un rectangle. Déterminer l’ensemble (Σ) des points M de l’espace E tels que MA2−MB2+MC2 =BD2.

Partie B

On considère dans l’espace E deux parallélogrammes ABCD et A′B′C′D′ ainsi que les milieux I, J, K et L de [AA′], [BB′], [CC′] et [DD′] respectivement.

1. Montrer que L est barycentre des points I, J, et K affectés de coefficients que l’on précisera.

En déduire que IJKL est un parallélogramme.

2. Soient O, Q et P les centres respectifs des parallélogrammes IJKL, ABCD, et A′B′C′D′.

Montrer que O est le milieu de [PQ].

EXERCICE 2 6 POINTS

Leplan complexe est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(Unité graphique :

1 cm).

Soient les nombres complexes a = p 3+1 4

+ i (p

3−1 4

)

et z0 = 6+6i d’image A0.

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

Pour tout n entier naturel non nul, on désigne par An le point d’affixe zn définie par

zn = anz0.

Partie A

1. Exprimer z1 et a2 sous forme algébrique.

. . . crire z1 sous forme exponentielle et montrer que a 2 =

1

2 ei

π 6 .

2. Exprimer z3 puis z7 en fonction de a2 ; en déduire l’expression de z3 et z7 sous forme exponentielle.

3. Placer les points A0, A1, A3 et A7 images respectives des complexes z0, z1, z3 et z7.

Partie B

Pour tout n entier naturel, on pose |zn | = rn .

1. Montrer que, pour tout n deN, rn = 12 (p

2

2

)n+1

.

2. En déduire que la suite (rn)n∈N est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

3. Déterminer la limite de la suite (rn) et interpréter géométriquement le résul- tat obtenu.

4. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que OAp 6 10−3 et donner alors

une mesure de l’angle orienté (−→ u ,

−−−→ OAp

)

.

PROBLÈME 4 POINTS

Le but du problème est l’étude d’une fonction f , d’une de ses primitives et d’une

suite attachée à cette fonction. Le plan est muni d’un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

avec ∥

−→ ı

∥= 2 cm et ∥

−→

∥= 5 cm.

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par

f (x)= 1

p 1+ x2

.

On note C sa courbe représentative.

1. Montrer que f est paire. . . . tudier ses variations sur [0 ; +∞[ et déterminer sa limite en +∞. Tracer sa courbe C .

2. Montrer que f établit une bijection de [0 ; +∞[ sur ]0 ; 1]. On note y un réel quelconque de l’intervalle ]0 ; 1]. Exprimer en fonction de

y le seul réel positif x vérifiant f (x)= y .

Partie B

Soit F la fonction définie sur R par

F (x)= ln (

x+ √

1+ x2 )

.

(On admettra que pour tout réel x, x+ p 1+ x2 > 0).

Polynésie 2 septembre 1997

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

1. Calculer F ′(x). En déduire que F est la primitive de f sur R qui s’annule en 0.

2. a. Déterminer la limite de F en +∞. b. Montrer que F est impaire.

c. En déduire la limite de F en −∞. 3. Soit λ un réel strictement positif. On note A (λ) l’aire en cm2 de la partie du

plan constituée des points M(x ; y) tels que λ6 x6 2λ et 06 y 6 f (x).

Exprimer A (λ) en fonction de λ ; donner la valeur exacte de A (1) et déter-

miner la limite de A (λ) quand λ tend vers +∞.

Partie C

On pose u0 = ∫1

0

1 p 1+ x2

dx et pour tout naturel n non nul, un = ∫1

0

xn p 1+ x2

dx.

1. Calculer u0. Calculer u3 à l’aide d’une intégration par parties.

(Remarquer que x3

p 1+ x2

= xx

p 1+ x2

).

2. Montrer que pour tout x de l’intervalle [0 ; 1],06 xn

p 1+ x2

6 xn .

En intégrant cette double inégalité sur [0 ; 1],montrer que la suite (un ) converge

et déterminer sa limite.

Polynésie 3 septembre 1997

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