Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Les méthodes d'analyse numérique - exercice – 4 sur la suite u. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite u arithmétique, la suite u convergente.
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[ Baccalauréat S Antilles–Guyane septembre 1997 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On dispose de 3 urnes U1, U2, U3 contenant chacune 2 boules indiscernables. Dans U1 une boule est marquée G, l’autre est marquée A ; dans U2 une boule est

marquée 3, l’autre est marquée 5 ; dansU3 une boule estmarquée 1

2 , l’autre estmar-

quée 2. Une épreuve E consiste à tirer au hasard une boule dans chaque urne. On définit une suite u de la façon suivante : si la boule tirée dans U1 est marqué A, la suite est arithmétique, si elle est marquée G, la suite est géométrique ; la boule tirée dans U2 désigne le premier terme u0 et la boule tirée dans U3 désigne la raison.

1. Calculer la probabilité d’avoir :

a. une suite u arithmétique ;

b. une suite u convergente ;

c. une suite u telle que u4 soit un nombre entier pair.

2. Calculer la probabilité d’avoir une suite u qui ne soit pas convergente sa- chant qu’elle est géométrique.

3. Un joueur tire une boule dans chaque urne et définit ainsi une suite numé- rique u :

— si u est géométrique, il gagne 5 F ; — si u est arithmétique et u4 6 7, il perd 4 F ; — si u est arithmétique et u4 > 7, il perd 6 F.

Soit X la variable aléatoire égale au gain (algébrique) du joueur :

— donner la « loi de probabilité » de X ; — calculer l’espérance de X .

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan orienté, on considère le carré ABCD de centre O tel que AB = 6 cm et (−−→ AB ,

−−→ AD

)

= π

2 . On définit les points P, Q, R, S de la façon suivante :

−→ AP =

1

3

−−→ AB ,

−−→ BQ =

1

3

−−→ BC ,

−−→ CR =

1

3

−−→ CD ,

−−→ DS =

1

3

−−→ DA .

Le but de l’exercice est de préciser la nature du quadrilatère PQRS en utilisant deux méthodes différentes.

Placer les points P, Q, R et S sur une figure.

1. Première méthode : utilisant les nombres complexes

On considère le repère orthonormal (

A, −→ u ,

−→ v

)

, les vecteurs unitaires étant

respectivement colinéaires et de même sens que −−→ AB et

−−→ AD , l’unité étant le

cm.

a. Déterminer les affixes a, b, c, d respectives des points A, B, C, D.

Calculer les affixes p, q, r, s respectives des points P, Q, R, S.

b. Calculer les affixes des vecteurs −−→ PQ et

−→ SR , puis le quotient

sp

qp .

c. Interpréter géométriquement ces résultats et en déduire la nature du qua- drilatère PQRS ?

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

2. Deuxième méthode : géométrique

On note f la rotation de centre O et d’angle π

2 .

a. Déterminer les images par f de A et B. Montrer que l’image de P par f est le point Q.

b. Déterminer les images de Q, R et S par f .

c. En utilisant ce qui précède, préciser et justifier la nature du quadrilatère PQRS.

PROBLÈME 11 POINTS

Partie A : étude d’une fonction numérique

On considère la fonction numérique définie par :

f : R → R x 7−→ f (x)= x+e−x

Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal direct (

O, −→ ı ,

−→

)

du plan, l’unité graphique est 1 cm.

1. a. Déterminer la limite de f en +∞.

b. Déterminer la limite de f en −∞, [on pourra écrire f (x) sous la forme : f (x)= e−x (xex +1)].

2. Étudier les variations de f .

3. Montrer que la droiteD d’équation y = x est asymptote à C . Étudier la posi- tion de C par rapport àD.

4. TracerD et C dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie B : Étude d’une transformation du plan

Soit l’application r du plan (P ) dans lui-même qui à tout point M d’affixe z fait cor- respondre le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ =

(

p 2

2 − i

p 2

2

)

z.

1. Calculer le module et l’argument de −

p 2

2 − i

p 2

2 et reconnaître r .

2. On pose z = x+ iy et z ′ = x′+ iy ′ où x, y, x′ et y ′ sont quatre réels. Calculer z en fonction de z ′. En déduire x et y en fonction de x′ et y ′.

3. On suppose que le point M de coordonnées (x ; y) appartient à C , montrer que les coordonnées x′ et y ′ deM ′ image deM par r vérifient la relation :

y ′ =−x′+ p 2ln

(

x p 2 )

.

Partie C : Étude d’une fonction numérique On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par :

g (x)=−x+ p 2ln

(

x p 2 )

.

Soit C ′ sa représentation graphique dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Étudier les limites de g en 0 et en +∞.

Antilles–Guyane 2 septembre 1997

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

2. Étudier les variations de g .

3. En utilisant éventuellement les résultats obtenus dans la partie B, tracer la courbe C ′ dans le même repère que la courbe C .

Partie D : Calcul d’aire

1. Calculer ∫

p 2

1 ln

(

x p 2 )

dx en utilisant une intégration par parties.

2. Soit D l’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient :

16 x6 p 2 et g (x)6 y 6 f (x).

Calculer en cm2 l’aire du domaine D ; on en donnera une valeur approcheée à 10−2.

Antilles–Guyane 3 septembre 1997

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