Les tables de logarithmes - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur les tables de logarithmes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan complexe privé du point O, les coordonnées x et y du point M.
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[ Baccalauréat C Amiens juin 1971 \

EXERCICE 1

On pose ex −e−x = 2s (s réel, e base des logarithmes népériens).

1. Exprimer x en fonction de s.

2. Si s = 3, calculer x avec la précision permise par les tables de logarithmes. (On prendra

p 10≈ 3,162.)

EXERCICE 2

1. Linéariser sin4 x.

2. Calculer f (t)= ∫t

0

(

4sin4 x − 3

2

)

dx.

3. Résoudre l’équation f (t)= 0.

PROBLÈME

Partie A

Les nombres réels x et x′ sont liés par la relation xx′ =−4.

SoiL N et N ′ les points d’abscisses respectives x et x′ sur un axe (−→ ∆

)

.

Calculer en fonction de x la longueur, notée (x), du segment N N ′ (l’unité de lon- gueur étant celle choisie sur l’axe). Étudier les variations de la fonction x 7−→ f (x) ainsi définie. Tracer son graphe dans un repère orthonormé. Utiliser ce graphe pour discuter l’existence et le nombre des points N tels que la longueur N N ′ ait une valeur donnée, k.

Partie B

On note (P) le plan complexe et (

P⋆ )

le plan complexe privé du point O(0 ; 0). À tout point M

(

P⋆ )

, image du nombre complexe z = x + iy , on associe le point M ′ ∈

(

P⋆ )

, image du nombre complexe z ′ = x′+ iy ′, tel que zz ′ =−4.

On note M(z) T 7−→ M

(

z ′ )

la transformation ainsi définie.

1. T est-elle involutive ? Quels sont les points B et B′ invariants par T ?

2. a. En étudiant les arguments de z et de z ′, montrer que les deux demi- droites OM et OM ′ sont symétriques par rapport à l’un des axes de coor- données.

b. En complétant cette étude par celle des modules de z et de z ′, montrer que T est le produit de deux transformations géométriques simples, que l’on précisera.

3. Calculer les coordonnées x et y du point M en fonction des coordonnées x′ et y ′ du point M ′.

4. Écrire, quand il existe, l’équation du cercle (Ω), de centre donné Ω(0 ; ω), or- thogonal au cercle de diamètre BB′. Déterminer le transformé par T de ce cercle (Ω).

a. analytiquement,

b. géométriquement.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

5. Écrire l’équation du cercle (Γ) passant par B et par B′, de centre donné P(λ ; 0). Déterminer le transformé par T du cercle (Γ).

a. analytiquement,

b. géométriquement.

6. Conclure de ce qui précède que les points B, B′, M et M ′ sont cocycliques et que, lorsque M décrit le cercle (Γ), la droite M M ′ passe par un point fixe A, que l’on précisera.

En déduire une construction géométrique du point M ′ transformé de M par T , lorsque M n’appartient pas à l’axe y ′Oy .

Amiens 2 juin 1971

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