Math - exercice 4, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur les racines de l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système, l'application affine bijective, l’ensemble des applications.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Orléans-Tours septembre 1975 \

EXERCICE 1

Calculer les racines de l’équation

z8+ z4+1= 0, z ∈C

1. En résolvant le système

{

z4 = u

u2+u+1 = 0

2. En décomposant le polynôme z8+ z4+1 en un produit de facteurs de degré 2 à coefficients réels (on remarquera que le polynôme x4+ x2+1 est le produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels).

EXERCICE 2

1. Étudier et représenter graphiquement dans le plan rapporté à un repère or- thonormé la fonction : f (x)= cos5 x, x appartenant à l’intervalle [−π ; π].

2. Calculer l’aire arithmétique de l’ensemble des points du plan situés entre l’axe des abscisses, la courbe (C ) représentant la fonction f et les droites d’équa- tions respectives x = 0 et x =π.

N. B. : On choisira comme unité sur les axes : 1 cm.

PROBLÈME

Soit π un plan affine, rapporté à un repère (

Ω, −→

ı , −→

)

; on note l’application de π

dans π définie analytiquement par

{

x′ = x+α

y ′ = 2+ y +α2−4α, α ∈R;

et on note A l’ensemble des applications quand α décrit R.

1. a. Montrer que est une application affine bijective,

b. Montrer que la loi de composition des applications est une loi de com- position interne définie dans A .

c. En étudiant l’application ϕ : R → A

α 7−→ , montrer que (R, +) est iso-

morphe à (A , ◦). En déduire la structure de (A , ◦) et les définitions ana- lytiques de

(

)

−1 , .

2. Soit P la parabole d’équation y = x2−4x dans (

Ω, −→

ı , −→

)

.

a. Montrer que siM appartient à P il en est de même de (M).

b. Montrer que P est globalement invariante par c’est-à-dire que

P = (P ).

3. On note Mx le point de P qui a pour abscisse x et Tx la tangente à P en Mx .

a. Quelle est l’équation de T0, dans (

Ω, −→

ı , −→

)

?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Montrer que = (M0) et que = (T0).

4. Déterminer a, b, c réels pour que la parabole d’équation y = ax2+bx+c dans (

Ω, −→

ı , −→

)

soit globalement invariante par faα.

5. On note l’application de π dans π définie analytiquement dans (

Ω, −→

ı , −→

)

par

{

x′ = βx

y ′ = 4β(β−1)x+β2y, β ∈R⋆.

Soit B l’ensemble des applications quand β décrit R ⋆.

a. Montrer que est une application affine bijective.

b. Montrer que (

R ⋆, ×

)

est isomorphe à (B, ◦). En déduire la structure de

(B, ◦) et la définition analytique de (

)

−1.

Montrer que la parabole d’équation y = x2−4x dans (

Ω, −→

ı , −→

)

est glo-

balement invariante par g/3′β.

6. Chercher les paraboles d’équation y = ax2+bx + c dans (

Ω, −→

ı , −→

)

globale-

ment invariante par .

Orléans-Tours 2 septembre 1975

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