Math - exercice 9, Exercices de Mathématiques

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Math - exercices sur l'entier relatif. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique de la variable réelle, les paramètres réels.
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[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1975 \

EXERCICE 1

Résoudre, dans C l’équation :

z2−2iz−2= 0

On désigne par z ′ la racine dont la partie réelle est positive et par z ′′ l’autre racine.

Calculer

(

z

z ′′

)2n

n est un entier relatif.

EXERCICE 2

1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle ainsi définie

{

f (0) = 0 f (x) = x(Log x)3

pour tout x strictement positif.

a. Démontrer que la fonction f est continue au point 0. Est-elle dérivable au point 0 ?

b. Étudier la variation de f .

Étudier f aux bornes de son domaine de définition.

Tracer la représentation graphiquede f dans le plan rapporté à un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Soit In = ∫1

a x(Log x)n dx avec a ∈]0 ; 1[ ; n ∈N⋆.

a. Calculer I1.

b. Calculer In en fonction de In−1 lorsque n est aumoins égal à 2.

c. Calculer I2 et I3. Que représente |I3| ?

PROBLÈME

Première partie

Le plan vectoriel −→ P étant rapporté à la base

(

−→ ı ,

−→

)

, on définit l’application linéaire

φ de −→ P dans

−→ P par la matrice :

=

(

a 1−b 1−a b

)

a et b représentent des paramètres réels quelconques.

1. Quelle relation doivent vérifier a et b pour que le noyau de ϕ soit distinct de {0} ?

Cette relation étant supposée vérifiée déterminer le noyau et l’image de ϕ.

Démontrer que ces deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires et re- connaître φ.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. On suppose ici que le noyau de ϕ est égal à {

−→ 0

}

. Caractériser les applications

φ qui sont involutives ; démontrer que les automorphismes ainsi obtenus sont tous, sauf l’un d’eux, des symétries vectorielles que l’on notera sa et dont on

déterminera, en fonction de a, la direction −→ ∆ et l’axe

−→ D .

On appellera σa la symétrie vectorielle d’axe −→ ∆ et de direction

−→ D ; déterminer

pour tout vecteur −→ v de

−→ P une relation entre sA

(

−→ v

)

et σA (

−→ v

)

. En déduire,

dans la base (

−→ ı ,

−→

)

, la matrice de σa . Déterminer sa σa et σa sa .

3. La base (

−→ ı ,

−→

)

étant supposée orthonormée, l’application φ peut-elle être

une isométrie positive ? Une isométrie négative ? Dans l’affirmative, préciser l’isométrie obtenue.

Deuxième partie

On considère le plan affine P associé au plan vectoriel −→ P et rapporté au repère

(

O, −→ ı ,

−→

)

. On considère les deux applications f et g de P dans P , qui au point M

de coordonnées x et y , associent respectivement les pointsM1 = f (M) etM2 = g (M) dont les coordonnées sont :

pour M1

{

x1 = 2x+3y +2 y1 −x−2y −2

pour M2

{

x2 = −2x−3y y2 = x+2y

1. Démontrer que f et g sont des applications affines de P ; écrire les matrices

des endomorphismes associés dans −→ P .

2. En utilisant 1. b., déterminer entièrement f , g , f g et g f .

3. Ondonne trois points deP par leurs coordonnéesA(4 ; −2) ; B(2 ; −2) ; C(−2 ; 0).

On note E l’ensemble de points : E = {O, A, B, C} et F l’ensemble d’applica- tions (où I est l’identité de P ) :

F = {I , f , g , f g }.

Démontrer que (F, ◦) est un groupe laissant E invariant.

Pondichéry 2 avril 1975

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