Math - travaux pratiques 4, Exercices de Mathématiques

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Math - travaux pratiques 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique f de la variable réelle, la table demultiplication de l’anneau.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Lyon juin 1976 \

EXERCICE 1

Soit la fonction numérique f de la variable réelle définie par : 2 -2x

f (x)= x2e−2x .

1. Étudier et représenter graphiquement cette fonction dans un repère ortho- normé.

2. Calculer l’aire dudomaineplandélimité par les axes de coordonnées, la courbe représentative de f et de la droite d’équation x =α α ∈R⋆+. Cette aire admet-elle une limite lorsque α tend vers +∞ ?

EXERCICE 2

On considère l’ensemble Z/4Z= {Ȯ, 1̇, 2̇, 3̇}.

1. Dresser la table de multiplication de l’anneau Z/4Z.

2. Résoudre dans Z/4Z l’équation 2̇x = 2̇ 3. Résoudre dans Z/4Z le système

{

2̇x+ 3̇y = 2̇ 2̇x+ 1̇y = 2̇

4. Résoudre dans Z/4Z l’équation 2̇x2+ 2̇x = Ȯ.

PROBLÈME

N.B. - Les parties A, B et C - sont indépendantes.

On considère l’ensemble K des matrices M(a, b) de la forme

M(a, b)= (

a b 3b a−2b

)

où(a ; b) ∈R2.

Partie A

1. a. Démontrer que K est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel M des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels.

b. Démontrer que K est un corps commutatif pour l’addition et lamultipli- cation des matrices.

2. Soit f l’application de K dans l’ensemble C des nombres complexes définie par

M(a, b) 7−→ z− (ab)+ ib p 2.

a. Démontrer que f est un isomorphisme de l’espace vectoriel K sur le R- espace vectoriel C. En déduire la dimension de K .

b. Démontrer que f est un isomorphisme du corps K sur le corps C.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Résoudre dans C l’équation z3− i= 0. Utiliser f pour trouver les matrices M de K telles que M3 = A′, où A′ est la matrice antécédent de i par f .

Partie B

Une urne contient 3 jetons numérotés 0, 1, −1. Un premier tirage donne un numéro noté a ; on remet le jeton et un second tirage donne un numéro noté b. Les tirages sont équiprobables. On obtient ainsi un couple (a, b) et on lui associe la matrice M(a, b) de K .

Soit −→ P un plan vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée

(−→ ı ,

−→

)

.

On note ϕa, b l’endomorphisme de −→ P dont la matrice dans

(−→ ı ,

−→

)

est M(a, b).

Quelles sont les probabilités pour que cet endomorphisme soit :

1. Une rotation vectorielle ?

2. Une symétrie vectorielle orthogonale ?

Partie C

Soit P un plan affine euclidien associé au plan vectoriel euclidien −→ P , muni d’un re-

père orthonormé R = (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit E le point de coordonnées (0 ; 2) et F le milieu

de (O, E). Soit h l’application affine associée à l’endomorphisme ϕ0, 14 dont la ma-

trice dans (−→ ı ,

−→

)

est M (

0, 14 )

et telle que h(E) = O.

1. Soit s la symétrie orthogonale de P par rapport à la droite affine contenant F

et de vecteur directeur −→ ı . Démontrer que g = h s admet comme expression

analytique dans R

x′ = 1

4 y

y ′ = 3

4 x+

1

2 y

2. Soit M0 le point de coordonnées (

x0 ; y0 )

= (2 ; 2) dans R. On pose :

M1 = g (M0) , . . . , Mn = g (Mn−1)= gn (M0)

pour n élément deN⋆.

On se propose de déterminer la position limite de Mn quand n augmente in- définiment en cherchant les valeurs limites des suites réelles c et (xn )n∈N où (

xn ; yn )

sont les coordonnées deMn dans R.

a. Démontrer que la suite définie par vn = xn + yn , pour tout n ∈N, est une suite géométrique. Est-ce que la suite (vn)n∈N est convergente, c’est-à- dire est-ce que vn a une limite finie lorsque n tend vers +∞ ? Exprimer xn + yn en fonction de n.

b. Démontrer par récurrence sur n : ∀n ∈N, xn > 0 et yn > 0.

c. On considère la suite définie par ∀n ∈ N, un = xn

yn . Démontrer qu’elle

vérifie :

n ∈N, un+1 = 1

3un +2 .

Soit wn = un

1

3 un +1

.

Démontrer que (wn)n∈N est une suite géométrique. Donner l’expression de wn , puis de un en fonction de n. En déduire que la suite (un )n∈N est convergente.

Lyon 2 juin 1976

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

d. En utilisant les valeurs de un = xn

yn et vn = xn+yn , donner les expressions

de xn et yn en fonction de n.

En déduire les limites des suites (xn )n∈N et (

yn )

n∈N et la position limite des points Mn quand n augmente indéfiniment.

Lyon 3 juin 1976

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