Mathématique et technique - exercices d'algèbre 4, Exercices de Algèbre linéaire

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Exercices d'algèbre 4 sur les chiffres. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le groupe pour la multiplication, la transformation.
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Cambodge mathelem juin 1965.dvi

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[ Baccalauréat Cambodge 1 juin 1965 \ Série mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Trouver les chiffres a et b tels que les nombres de la forme 1a1bab écrits dans le

système à base 10 soient divisibles par 63.

EXERCICE 2

Montrer que, dans le corps des complexes, les racines de l’équation

z3 = 1

forment un groupe pour la multiplication.

EXERCICE 3

Le repère de référence Ox, Oy sera, dans tout le problème, orthonormé. On consi-

dère la transformation ponctuelle (S) qui, au point M de coordonnées (x ; y), fait

correspondre le point M ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

telles que :

{

x′ = 2cosαx cos2αy sin2α,

y ′ = 2sinαx sin2α+ y cos2α,

α étant un angle donné tel que −π6α<π.

1. Déterminer par son équation l’ensemble (D) des points doubles de (S).

2. Quelle est la transformation réciproque de (S) ?

(S) est-elle involutive ?

Montrer que (S) définit une bijection du plan sur lui-même.

3. Montrer que (S) est une isométrie, c’est-à-dire qu’elle conserve les disLances.

Quelle est la figure transformée d’un cercle du plan ?

Que peut-on dire d’un cercle centré sur (D) ?

4. Quelle est la figure (

∆ ′ )

transformée d’une droite (∆) ?

Montrer que (∆) et (

∆ ′ )

se coupent sur (D) ou sont parallèles à (D).

5. Montrer que M M ′ est perpendiculaire à (D).

Identifier alors la transformation (S).

6. Dans toute la suite du problème on fait α= π

6 .

On appellera (Y ) la symétrie d’axe Oy et (H) l’homothétie de centre A(0 ; + 2)

et de rapport 2.

Définir la transformation ( ∑

)= (H)◦(S)◦(Y ) [on fait successivement les trans-

formations (Y ), puis (S), puis (H)].

7. Trouver, géométriquement, la transformée par ( ∑

) du support de Ox.

Donner son équation. N ′ étant le transformé par ( ∑

) d’un point N deOx, quel

est l’ensemble des projections orthogonales de A sur N N ′ et quelle est l’enve-

loppe de N N ′ quand N décrit Ox ?

Donner l’équation de la dernière courbe.

1. Pékin

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