Mathématique - exercices 11, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres entiers relatifs, les propriétés des deux lois.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Cameroun juin 1970 \

EXERCICE 1

Dans l’ensemble Z×Z, Z étant l’ensemble des nombres entiers relatifs, on définit les deux lois de composition interne suivantes, notées ⋆ et T :

(a,b)⋆ (a′,b′) = (a+a′, b+b′)et (a,b)T(a′,b′) = (aa′, ab′+ba′).

Donner les propriétés de ces deux lois ; montrer que la seconde est distributive par rapport à la première. Quelle est la structure de Z×Zmuni de ces deux lois ?

EXERCICE 2

On considère la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels par

f (x)= ex −e−x

ex +e−x

1. Étudier f et tracer la courbe représentative (C) dans un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

.

2. Déterminer la primitive de f qui s’annule pour x = 0. Calculer l’aire de la région limitée par (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 1 et x = 2.

EXERCICE 3

On considère le repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

et les deux vecteurs −→

u1 et −→

u2 , de mo-

dule 1, tels que

(

−→

ı , −→

u1

)

≡ −

α

2 mod 2π et

(

−→

ı , −→

u2

)

≡ +

α

2 mod 2π.

On considère les droites (D1) et (D2) sécantes en O, dont −→

u1 et −→

u2 sont respective- ment les vecteurs directeurs.

1. Soit M le point de coordonnées (x ; y). a. Écrire l’équation paramétrique de la perpendiculaire menée deM à (D1)

en déterminant un vecteur directeur de cette perpendiculaire. Utiliser cette équation pour déterminer les coordonnées deM1 point sy- métrique de M par rapport à (D1) ; on écrira que le milieu de MM1 ap- partient à (D1).

b. Déterminer demême les coordonnées deM2 point symétrique deM par rapport à (D2).

2. a. Déterminer, en utilisant la question 1., l’ensemble des points M tels que M1M2 = , étant une longueur donnée.

b. Donner une solution géométrique de cette question.

3. Déterminer l’ensemble des points M tels que la droite (M1M2) passe par un point donné, A, de coordonnées (a ; b). Discuter. Vérifier que l’ensemble obtenu contient les symétriques, A1 et A2, de A, res- pectivement par rapport à (D1) et à (D2)·

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