Mathématique - exercices 12, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite géométrique, la courbe représentative, le corps des nombres complexes.
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[ Baccalauréat C Clermont septembre 1970 \

EXERCICE 1

Déterminer les couples, (

u0, q )

, d’entiers positifs premiers entre eux, sachant que les termes de la suite géométrique u0,u1,u2 et u3, de raison q , vérifient l’égalité

u1+2u3 = 44u 2 0 .

EXERCICE 2

1. Log x désigne le logarithme népérien de x.

Soit f la fonction définie, pour x positif, par

f (x)= Log2 x.

Tracer la courbe représentative (C ) de f dans un repère orthonormé.

2. Calculer la dérivée de la fonction G définie, pour x positif, par

G(x)= x(Log2 x −2Log x).

En déduire une primitive de f .

3. Soit A le point commun à (C ) et à Ox et I le point, distinct de A, tel que la tangente en I à (C ) passe par O. Trouver les coordonnées de I et l’aire limitée par l’arc AB de (C ) et les segments OI et OA.

EXERCICE 3

On désigne par C le corps des nombres complexes. Pour λ réel, on définit l’application

:C −→C, z 7−→ Z = (z)= (1+λi)z λi.

1. La fonction est-elle bijective ?

2. Soit M l’image de Z et m celle de z dans le plan complexe. Chaque application définit une transformation ponctuelle plane et l’on note M = (m).

a. Montrer qu’il existe un unique élément de C, soit z0, tel que pour tout λ réel (z0)= z0 et soit m0 son image.

b. Quelle est la nature de ?

c. Calculer Z z

z z0 et en déduire le produit scalaire

−−−−→ m0m ·

−−−→ mM .

3. a. Pour m fixé et λ variable, déterminer l’ensemble des points M = (m).

b. Pour M fixé et λ variable, déterminer l’ensemble des points m tels que M = (m).

c. Soit O, F, F′, A et A′ les points de l’axe réel d’abscisses respectives 0, + 1,−1,a et −a, où a est strictement positif et différent de 1.

Pour λ variable, déterminer

l’ensemble des points Ω = (O), l’ensemble des points K = (A), l’ensemble des points K′ =

(

A′ )

.

Soit (O) le cercle de diamètre AA′.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

4. a. Écrire l’équation du transformé (Ω) du cercle (O). En donner une défini- tion géométrique.

b. Soit I le pied de la polaire de F par rapport à (Ω).

Déterminer le point H tel que I = (H).

Pour λ variable déterminer l’ensemble des points I.

c. La parallèle à l’axe réel menée par I rencontre (Ω) en P et P′.

Pour a donné et λ variable, discuter l’existence des points P et P′ (il y a deux cas suivant les valeurs de a).

Montrer que, quand λ varie, les points P et P′ restent sur une même co- nique, (Γ), dont on donnera l’équation.

d. Préciser la nature de (Γ) suivant les valeurs de a.

Dire ce que sont, pour cette conique (Γ),

– les points O, A, A′, F, F′ ; – l’ensemble des pointsΩ ; – l’ensemble des points K ; – l’ensemble des points K′ déterminés à la question 3. c. ; – l’ensemble des points I de la question 4. b.

e. En supposant λ 6= 0, écrire l’équation du cercle qui passe par F, F′ et O. Vérifier qu’il passe par P et par P′. Y-a-t-il d’autres points que P et P′, communs à ce cercle et à (Γ) ?

Que se passe-t-il pour λ= 0 ?

Clermont 2 septembre 1970

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