Mathématique - exercices 2, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations de la fonction f, l’ensemble des réels, le calcul.
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[ Baccalauréat C Aix-en-Provence septembre 1970 \

EXERCICE 1

Étudier les variations de la fonction f définie par la formule

f (x)= Log

x +1

x −1

sur l’ensemble des réels, x, tels que l’expression du secondmembre ait un sens (Log désigne le logarithme népérien). Construire la courbe représentative de f , en repère orthonormé.

EXERCICE 2

Montrer (au moyen des congruences) que, si aucun des trois entiers a,b ou c n’est multiple de 3, a2+b2+c2 est multiple de 3.

PROBLÈME

1. On donne dans le plan un point, A, et une droite, (D) (ne passant pas par A). Préciser l’ensemble, E, des pointsM auxquels peut s’appliquer l’opération sui- vante :

Si M est sur la parallèle à (D) passant par A, prendre le symétrique M’ de M par rapport à A.

Si M n’est pas sur cette parallèle, mener la droite AM qui coupe (D) en P , puis prendre le conjugué M ′ de M par rapport aux points A et P .

On appellera H la transformation ainsi définie sur E par M ′ = H(M).

2. Soit 2a la distance de A à (D). Prendre un repère orthonormé tel que A soit le point (−a ; 0) et (D) la droite d’équation x = a. Soit (D’) la droite x =−a.

Calculer les coordonnées, (

x′ ; y ′ )

, de H(M), en fonction de celles, (x ; y), de M .

On vérifiera que les deux cas géométriques peuvent s’exprimer par les mêmes expressions algébriques.

3. Soit A′ la projection orthogonale de A sur (D).

Soit H ′ la transformation définie avec A′ et (D′) comme l’est H avec A et (D).

Vérifier que H ′ et H sont définies sur le même ensemble E.

Soit I la transformation identique de E, soit S la symétrie par rapport à AA′

définie sur E et soit G = {H ,H ′,S, I}.

Calculer les produits, deux à deux, des éléments de G.

Quelle conclusion peut-on faire ?

N.B. - Les questions 2 et 3 sont indépendantes, mais la question 3 peut se faire soit géométriquement, soit par le calcul en utilisant les formules à trouver dans la ques- tion 2.

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