Mathématique - exercices 4, Exercices de Logique mathématique

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Mathématique - exercices 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique de la variable réelle, la représentation graphique dans un repère orthonormé.
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[ Baccalauréat C Amiens juin 1970 \

EXERCICE 1

Unnombre complexe étant désigné par z, on note z son conjugué et |z| sonmodule. Quel est l’ensemble des points du plan dont l’affixe, z, satisfait à la relation

z + z = |z|.

Représenter cet ensemble,

EXERCICE 2

Étude de la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= ex

|x −1|

Construire la représentation graphique dans un repère orthonormé.

PROBLÈME

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy . On désigne par (∆) la droite d’équation y = x, par S∆ et Sy les symétries, respectivement par rapport à (∆) et à y ′Oy . Un point M de coordonnées (x ; y) sera noté M(x ; y). Le nombre h étant un réel donné, on considère la transformation Th qui, à chaque point M(x ; y), fait correspondre le point M1

(

x1 ; y1 )

tel que

(1)

{

x1 = hx, y1 = x +hy.

1. a. La transformation Th a-t-elle des points doubles ?

b. Montrer que la transformation T0 correspondant à la valeur h = 0, est le produit, dans cet ordre, de la symétrie S∆ et d’une transformation simple, que l’on précisera.

c. On se donne deux réels, h et h′. Écrire les formules définissant la trans- formation Th′ ◦Th . Reconnaître cette transformation dans le cas où h

′ =

h.

d. Onconsidère le produit, dans cet ordre, des quatre transformations S∆ ,Th ,Sy et Th ; soitU ce produit,

U = Th Sy Th S

Le point M(x ; y) est transformé parU en P

[P =U (M)],

de coordonnées (X ; Y ). Montrer que

{

X = −h2y, Y = h2x.

On pose Z = X + iY et z = x + iy . Exprimer Z en fonction de z et recon- naître la transformation U .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. On examine, dans cette partie, la transformation T1

{

x1 = x, y1 = x + y.

a. Le point H désignant la projection orthogonale de M sur l’axe y ′Oy , pré- ciser les directions des droites M M1 et H M1 lorsque M et M1 sont dis- tincts. En déduire la construction de M1 = T1(M) connaissant M .

b. Soit (H) l’hyperbole d’équation x2− y2 = 9.

Soit (H1) la courbe transformée de l’hyperbole (H) par la transformation T1. Quelle relation les coordonnées (x ; y) d’un point M duplan doivent- elles vérifier pour que M appartienne à (H1) ? Cette relation caractérise- t-elle les points de (H1) ?

Construire (H) et (H1) dans le même repère x′Ox, y ′Oy .

c. Rechercher tous les points de (H) dont les coordonnées sont toutes deux des entiers relatifs. En déduire tous les points à coordonnées entières de (H1).

3. On reprend la transformation Th définie par les formules (1). Partant d’un point donné M0

(

x0 ; y0 )

, ondésignepar M1 (

x1 ; y1 )

,M2 (

x2 ; y2 )

, . . . ,Mn (

xn ; yn )

les transformés par Th de M0,M1, . . . ,Mn−1 :

M1 = Th (M0) ,M2 = Th (M1) , . . . ,Mn = Th (Mn−1) .

a. Calculer xn et yn en fonction de h,x0 et y0. Montrer que, dans le cas où x0 et h sont tous deux strictement positifs et h différent de 1, on peut écrire

yn =αxnLog xn +βxn

α et β sont des constantes, que l’on exprimera en fonction de x0, y0 et h.

b. x0 étant strictement positif et h strictement positif et différent de 1, com- ment faut-il choisir h pour que xn tende vers une limite finie quand n tend vers l’infini ?

Quelle est cette limite ?

Montrer qu’alors yn tend vers zéro quand n tend vers l’infini.

Amiens 2 juin 1970

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