Mathématique - exercitation 1, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les paires d’entiers naturels a et b, l’ensemble des entiers relatifs x, Résoudre l’équation.
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[ Baccalauréat C Nice juin 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

1. Trouver toutes les paires d’entiers naturels a et b tels que l’on ait :

{

pgcd/ : (a ; b) = 42 ppcm(a ; b) = 1680

2. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs x tels que

8x = 7 (modulo5)

3. Résoudre l’équation :

(x ; y)∈Z×Z, 336x+210y = 294.

La deuxième question fournira une solution particulière de l’équation simpli- fiée.

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Soit s, la transformation du plan complexe dans lui-même, qui, au point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′, définie par :

z ′ = (1+ i)z+3i

Déterminer la nature de s et les éléments géométriques qui la caractérisent.

2. Soit O l’origine du repère. On considère la rotation r de centre O et de mesure

π

2 . On pose : f = r s.

Déterminer la nature de f et les éléments géométriques qui la caractérisent. Quelle est l’image par f du point A d’affixe −3 ?

PROBLÈME 12 POINTS

N. B. - La partie A est indépendante des parties B et C et la partie C peut être traitée en utilisant le dernier résultat de B Dans tout le problème a est un nombre réel donné strictement positif.

Partie A

Soit fa la fonction définie pour tout réel x par

fa (x)= (ax)e x

et soitCa a sa représentation graphiquedansunplanP rapporté à un repère (

O, −→

ı , −→

)

.

1. Étudier les variations de la fonction fa . Montrer que fa a un maximun pour une valeur xa que l’on déterminera.

Soit Ma le point de coordonnées (

xa ; f (xa ) )

. Quel est l’ensemble des points Ma quand a décrit R+. Le construire dans P.

2. En déduire le tableau de variations et la représentation graphique C1 de f1.

Partie B

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

1. Par une intégration par parties, démontrer que :

a

0 tet dt = aea

a

0 et dt .

En déduire que :

ea = 1+a+ ∫a

0 (at)et dt .

2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On pose :

In =

a

0

(at)n

n! et dt .

Démontrer que In = an+1

(n+1)! + In+1.

3. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n> 1 :

ea = 1+a+ a2

2! +·· ·+

an

n! + In

4. a. Démontrer que 06 In 6 an

n! (ea −1).

b. On pose un = an

n! . Calculer

un+1

un .

Montrer qu’il existe un entier naturel n0 tel que pour tout entier n > n0

on a un+1 6 1

2 un .

En déduire que, pour tout n> n0

06un 6un0

(

1

2

)nn0

.

c. En déduire les limites de un et de In quand n tend vers +∞ et montrer que

lim n→+∞

(

1+a+ a2

2! +·· ·+

an

n!

)

= ea .

Partie C

Soit la matrice A =

(

1 1 0 2

)

.

On définit Anpar A1 = A et An = An−1× A pour n> 2.

1. Calculer A2, A3, A4. En déduire par récurrence An en fonction de n.

2. Soit Bn = I+ A+ 1

2! A2+·· ·+

1

n! An , où I=

(

1 0 0 1

)

.

On pose Bn =

(

αn γn βn δn

)

. Expliciter αn , γn , βn , δn .

Montrer que les suites (αn ) , (

βn )

, (

γn )

, (δn ) ont des limites, que l’on détermi- nera, quand n tend vers +∞ ?

Nice 2 juin 1978

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