Mathématique - exercitation 13, Exercices de Mathématiques

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Mathématique - exercitation 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des matrices, l’espace vectoriel sur R des suites numériques.
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[ Baccalauréat C Rouen septembre 1978 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit M l’ensemble des matrices de la forme

(

a a+b

b a

)

lorsque a et b sont deux

éléments de R.

1. Montrer que M , muni de l’addition desmatrices et de la multiplication d’une matrice par un réel possède une structure d’espace vectoriel sur R. Trouver une base de cet espace vectoriel.

2. P étant un plan vectoriel euclidien, on définit l’application linéaireϕ de P vers

P, dont la matrice dans la base orthonormée (

−→ ı ,

−→ ı

)

est :

(

2 3 1 2

)

est-elle un

automorphisme involutif de P ?

EXERCICE 2 3 POINTS

L’application linéaire ϕ est celle définie dans la deuxième question de l’exercice 1 précédent. λ étant un réel donné, on pose = Ker

(

ϕλidP )

(noyau de l’application linéaire ϕλidP).

1. Montrer que : = {

−→ u ∈P :ϕ

(

−→ u

)

=λ −→ u

}

.

2. Montrer qu’il existe deux valeurs réelles distinctes de λ, pour lesquelles 6= {

−→ 0

}

. (On notera λ1 la plus petite de ces valeurs, λ2 l’autre).

3. Montrer que λ1 et λ2 sont deux droites vectorielles.

PROBLÈME 13 POINTS

Soit (S , +, ·) l’espace vectoriel sur R des suites numériques (application de N dans R). On noteU la suite de terme généralUn . On considère le sous-ensemble T deS des suitesU vérifiant la propriété suivante :

(∀n ∈N) (Un+2 =−4Un+1+5Un) .

Partie A

1. Montrer que T est un sous-espace vectoriel de S .

2. Soit u et v deux suites deT . Démontrer que u = v si et seulement si (u0, u1)= (v0, v1).

3. Soit a et b deux suites de T telles que

a0 = 1, a1 = 0, b0 = 0,b1 = 1.

Démontrer que pour tout u de T :

u =u0 ·a+u1 ·b.

En déduire la dimension de T .

4. On considère la suite s de T définie par s0 = 6 et s1 = 0.

Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, s2n est strictement positif et s2n+1 est strictement négatif.

Le baccalauréat de 1978 A. P. M. E. P.

Partie B

On considère la suite géométrique t de premier terme 1 et de raison α, α étant un réel non nul.

1. Déterminer α pour que t appartienne à T . En déduire une nouvelle base de T .

2. Calculer dans cette base les coordonnées de la suite s définie en A 4. En dé- duire que la suite s n’est pas convergente.

Partie C

Soit E un espace affine euclidiendedimension 2muni du repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. On considère la suite des points M de E de coordonnées (n ; s) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Démontrer que les points M2n appartiennent à la courbe (C ) d’équation y = 5 (

1+5x−1 )

et que les points M2n+1 appartiennent à la courbe (C ′) d’équation y = 5

(

1−5x−1 )

.

2. Étudier la fonction f définie par :

f (x)= 5 (

1+5x−1 )

.

Tracer les courbes (C ) et (C ′).

3. Calculer l’aire Aλ de la portion de plan limitée par les courbes (C ) ; (C ′) et les

droites d’équations x = 0 et x = λ. (λ< 0),

Déterminer la limite de Aλ quand λ tend vers −∞.

Partie D

1. On désigne par xn et yn les coordonnées de tout point Mn . Déterminer les réels a, b, c, d tels que l’on ait, quelque soit n :

{

xn+1 = axn +b

yn+1 = cyn +d

2. SoitF l’application affinedeEdansEqui à tout pointM(x ; y) associeM ′′ (

x′′ ; y ′′ )

tel que :

{

x′′ = ax+b

y ′′ = cy +d

Démontrer que F est une bijection et déterminer le point O1 tel que

F (O1)=O.

Démontrer qu’il existe une translation T et une application affineG de E dans E telles que :

F =G T et G(O)=O.

Pour tout point M(x ; y) d’imageM ′ (

x′ ; y ′ )

parG exprimer x′ et y ′ à l’aide de x et de y .

3. Démontrer que pour l’application G :

a. l’ensemble des points invariants est une droite (D).

b. il existe une droite vectorielle −→ ∆ telle que pour tout point M d’image M

parG le vecteur −−−−→ MM ′ appartient à

−→ ∆ .

c. il existe un nombre réel k tel que pour tout point M (d’image M ′) de

projection H sur (D) suivant la direction −→ ∆ on ait

−−−→ HM ′ = k

−−−→ HM .

Préciser k.

Rouen 2 septembre 1978

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