Mathématiques financières - notes - 2° partie, Notes de Mathématiques financières. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
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Mathématiques financières - notes - 2° partie, Notes de Mathématiques financières. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes sur les mathématiques financières - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les exemples, les considérations.
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Microsoft PowerPoint - ACT2025_Cours20.ppt [modalità compatibilità]

ACT2025 - Cours 20

Première approche. Déterminons le taux nominal d’intérêt i(4) équivalent au taux i(12) = 3%. Ce taux est i(4) = 3.00750625% par année capitalisé à tous les trimestres, c’est-à-dire 0.751876563% par trois mois. Nous obtenons donc l’équation de valeur suivante au moment du prêt.

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

Période de paiement Paiement

Portion d’intérêt

Portion de principal

Solde restant

0 25 000 1 5 113.34 187.97 4 925.37 20 074.63 2 5 113.34 150.94 4 962.40 15 112.23 3 5 113.34 113.63 4 999.71 10 112.52 4 5 113.34 76.03 5 037.31 50 75.21 5 5 113.34 38.16 5 075.18 0

Exemple 1: Table d’amortissement

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ACT2025 - Cours 20

Le solde restant immédiatement après le 2e paiement est

La portion d’intérêt du 3e paiement est

15112.20 (0.00751876563) = 113.63$

et celle de principal remboursé du 3e paiement est

5113.34 - 113.63 = 4999.71$

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

Deuxième approche: Le taux d’intérêt est 0.25% par mois et il y a k = 3 périodes de capitalisation dans une période de paiement. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 15 mois. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 2e paiement, les portions d’intérêt et de principal du 3e paiement. Le solde restant après le 2e paiement est

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

La portion d’intérêt du 3e paiement est B2 [(1.0025)3 - 1] =113.63$

et celle de principal remboursé du 3e paiement est 5113.34 - 113.63 = 4999.71$.

Exemple 1: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par des paiements égaux. Supposons qu’il y a m périodes de paiement dans une période de capitalisation. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par période de capitalisation et par n: la durée du prêt en période de capitalisation. Les paiements du prêt sont de (1/m) dollars et il y a mn paiements. Le montant emprunté L est alors

La table d’amortissement est alors

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ACT2025 - Cours 20

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ACT2025 - Cours 20

Un prêt de 5 000$ est remboursé par 6 versements égaux à la fin de chaque mois au montant de R dollars. Le taux d’intérêt est le taux nominal d’intérêt i(4) = 4% par année capitalisé à tous les trimestres. Déterminer la table d’amortissement, le solde restant immédiatement après le 3e paiement, les portions d’intérêt et de principal remboursé du 4e paiement.

Exemple 2:

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ACT2025 - Cours 20

Première approche. Déterminons le taux nominal d’intérêt i(12) équivalent au taux i(4) = 4%. Ce taux est i(12) = 3.986740251% par année capitalisé à tous les mois, c’est-à- dire 0.332228354% par mois. Nous obtenons donc l’équation de valeur suivante au moment du prêt.

Exemple 2: (suite)

La table d’amortissement est alors

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ACT2025 - Cours 20

Période de paiement Paiement

Portion d’intérêt

Portion de

principal Solde restant

0 5000

1 843.05 16.61 826.44 4173.56

2 843.05 13.87 829.18 3344.38

3 843.05 11.11 831.94 2512.44

4 843.05 8.35 834.70 1677.70

5 843.05 5.57 837.48 840.22

6 843.05 2.79 840.26 0

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ACT2025 - Cours 20

Le solde restant immédiatement après le 3e paiement est

La portion d’intérêt du 4e paiement est

2512.44 (0.00332228354) = 8.35$

et la portion de principal remboursé est

843.05 - 8.35 = 834.70$.

Exemple 2: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

Deuxième approche. Le taux d’intérêt est 1% par trimestre et il y a m = 3 périodes de paiement dans une période de capitalisation. La durée du prêt en période de capitalisation est de n = 2 trimestres. Nous obtenons donc comme équation de valeur au moment du prêt

Exemple 2: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

Nous obtenons la même table d’amortissement. Nous allons maintenant seulement expliquer comment obtenir le solde restant après le 3e paiement, les portions d’intérêt et de principal du 4e paiement. Le solde restant après le 3e paiement est

Exemple 2: (suite)

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ACT2025 - Cours 20

La portion d’intérêt du 4e paiement est B3 [(1.01)(1/3) - 1] =8.35$

et celle de principal remboursé du 4e paiement est 843.05 - 8.35 = 834.70$.

Exemple 2: (suite)

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Considérons un dernier exemple d’amortissement dans une situation générale

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Exemple 3:

Albert emprunte 90 000$ au atux effectif d’intérêt de 8% par année. Il remboursera ce prêt en faisant des paiements trimestriels pendant 12 ans, le premier paiement est fait 3 mois après le prêt. Pour les deux premières années, le paiement trimestriel est de R dollars. Ce montant est indexé de 3% à tous les 2 ans. Déterminons les portions d’intérêt et de principal remboursé du 17e paiement.

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Exemple 3: (suite)

Il nous faut calculer plusieurs taux d’intérêt équivalent au taux effectif d’intérêt i = 8%. Par exemple le taux nominal d’intérêt i(4) par année capitalisé trimestriellement équivalent à i est i(4) = 7.770618763%. Donc le taux d’intérêt par trimestre équivalent à i est i’ = 1.942654691%.

Il nous faudra aussi le taux d’intérêt j capitalisé à tous les 2 ans équivalent au taux effectif d’intérêt i. Ce taux est j = 16.64%.

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