Mathématiques financières - notes - 3° partie, Notes de Mathématiques financières. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
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Mathématiques financières - notes - 3° partie, Notes de Mathématiques financières. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes sur les mathématiques financières - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’équation de valeur, les fonds d’amortissement.
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ACT2025 - Cours 20

Exemple 3: (suite)

Il nous faut regrouper les 8 paiements d’une période en un seul paiement à la fin de cette période pour déterminer R. L’équation de valeur à t = 0 est

et nous obtenons que R = 2 725.57$

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Exemple 3: (suite)

Le solde restant immédiatement après le 16e paiement est

c’est-à-dire B16 = 71166.47$

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Exemple 3: (suite)

La portion d’intérêt du 17e paiement est alors

B16 (0.01942654691) = 71166.47 (0 .01942654691) = 1382.52.

Le 17e paiement est de 2725.57 (1.03)2 = 2891.56 $ et conséquemment la portion de principal remboursé du 17e paiement est alors

2891.56 - 1382.52 = 1509.04$

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Nous allons maintenant étudier une autre situation, celle des fonds d’amortissement.

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Dans certains prêts, l’emprunteur verse à intervalles réguliers l’intérêt dû et remboursera complètement le principal L à l’échéance du prêt. Pour accumuler le montant du prêt à

l’échéance, l’emprunteur met en place un fonds dans lequel il dépose à intervalles réguliers des versements de façon telle

qu’il accumulera le principal L. Ce fonds est le fonds d’accumulation (« sinking fund » en

anglais)

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Le montant accumulé dans le fonds peut à tout moment servir à rembourser une partie du prêt. Conséquemment le montant net

du prêt est le principal prêté initialement auquel nous soustrayons la valeur accumulée dans le fonds.

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Considérons un prêt de 1$, qui sera remboursé par un paiement de 1$ après n périodes de capitalisation. Le taux d’intérêt est le taux i par période de capitalisation. L’intérêt est payé à la fin de chaque période de capitalisation. Au même moment, un

dépôt est fait dans un fonds rémunéré au taux d’intérêt j. Ces dépôts sont tous égaux et la valeur accumulée est 1$ après n

périodes de capitalisation. La période de capitalisation de l’intérêt du fonds est la même que celle du prêt.

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Si nous notons par R le montant déposé dans le fonds à la fin de chaque période de capitalisation, alors nous avons l’équation

Nous obtenons le tableau suivant.

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Un prêt de 5 000$ est remboursé par un versement de 5000$ après cinq ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i = 5% par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 5000$ à la fin de la cinquième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 5 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 4% par année. Déterminer la table pour ce fonds d’amortissement et le montant net du prêt immédiatement après le 3e dépôt.

Exemple 4:

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Pour déterminer R, il faut noter que nous avons l’équation de valeur suivante à la fin de la cinquième année:

Le montant d’intérêt payé à chaque année est 5000 (0.05) = 250$.

Exemple 4: (suite)

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Période Intérêt payé

Versement dans le fonds

Intérêt gagné par le fonds

Valeur accumulée

dans le fonds

Montant net du prêt

0 5000

1 250 923.14 0 923.14 4076.86

2 250 923.14 36.93 1883.21 3116.79

3 250 923.14 75.33 2881.67 2118.33

4 250 923.14 115.27 3920.08 1079.92

5 250 923.14 156.80 5000.02 0

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Le montant net du prêt immédiatement après le 3e dépôt est alors

Exemple 4: (suite)

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Un prêt de 75 000$ est remboursé par un versement de 75 000$ après huit ans et des versements annuels d’intérêt faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Le taux d’intérêt est le taux effectif d’intérêt i = 5% par année. Ainsi l’emprunteur paiera 3750$ d’intérêt par année. Un fonds d’amortissement est mis en place pour accumuler le 75 000$ à la fin de la huitième année. Des dépôts de R dollars seront faits à la fin de chaque année pendant 8 ans. Ce fonds est rémunéré au taux effectif d’intérêt j = 3% par année. Déterminer R, ainsi que le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année et le montant net du prêt immédiatement après le 5e dépôt.

Exemple 5:

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Nous avons l’équation de valeur suivante:

Conséquemment l’emprunteur versera

3 750 + 8 434.23 = 12 184.23$

à chaque année.

Exemple 5: (suite)

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Le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année est le montant d’intérêt 3750, auquel nous soustrayons le montant d’intérêt gagné par le fonds d’amortissement pendant la 5e année. Au début de la 5e année (c’est-à-dire après le 4e dépôt), le montant accumulée dans le fonds est

Le montant d’intérêt gagné par le fonds pendant le 5e année est 35285.67(0.03) = 1058.57$. Donc le montant net d’intérêt payé à la fin de la 5e année est

3750 - 1058.57 = 2691.43$.

Exemple 5: (suite)

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Le montant net du prêt à la fin de la 5e année est le montant emprunté 75 000, auquel nous soustrayons le montant accumulé dans le fonds d’amortissement après le 5e dépôt, à savoir

Exemple 5: (suite)

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