Notes d'analyse 1, Notes de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
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Notes d'analyse 1, Notes de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de sciences mathématiques sur l'analyse 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: séries numériques, suites et séries de fonctions, séries entières.
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UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Sciences Département de Mathématiques

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4)

Cours d’Analyse

Séries numériques Suites et Série de fonctions

Séries entières

A. Bourass, A. Ghanmi, N. Madi

(FSR 2009-2010)

Table des matières

1 Séries numériques FSR / SMP(S4) 3 1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Suites et Série de fonctions FSR / SMP(S4) 10 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Séries entières FSR / SMP(S4) 17 3.1 Définition et permières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2

Chapitre 1

Séries numériques

1.1 Définitions et premières propriétés

Definition 1.1. 1) On appelle série à termes dans K = (R ou C) tout couple ((un)n, (Sn)n) forme

d’une suite (un) d’éléments de K et de la suite (Sn) définie par

Sn = n

∑ k=0

uk

un est appelé le terme général de la série et Sn est la somme partielle d’ordre n. On écrira formellement ∑ un ou lieu de ((un)n, (Sn)n).

2) La série ∑ un converge, ou est convergente, si et seulement si (Sn) est convergente

et S = lim Sn est appelée la somme de la série ∑ un. On note alors S = +∞ ∑ n

un.

La série diverge (ou est divergente) si elle ne converge pas.

Proposition 1.2 (Condition nécessaire). Si la série ∑ un converge alors un −→ 0 quand n −→ +∞.

Preuve : Ceci résulte du fait que

un = Sn − Sn−1 −→ S− S = 0

où Sn = ∑ k≤n

uk. 

Exemples 1.3.

1. La série ∑ n≥1

1 n :

Pour n assez grand, on a bien ln(n) ≥ ln(2). Alors, si on note par m la partie

3

4 CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES FSR / SMP(S4)

entière de ln nln 2 , m = E( ln n ln 2 ), on obtient m ≤

ln n ln 2 < m + 1 et donc m ln(2) ≤

ln(n). En appliquant ex qui est une fonction croissante, on voit que

2m ≤ n.

Par suite

Sn = n

∑ k=1

1 k ≥

2m

∑ k=1

1 k

.

Or

2m

∑ k=1

1 k

= 1 + 1 2

+ ( 1 3

+ 1 4 ) + (

1 5

+ · · ·+ 1 8 ) + · · ·+ ( 1

2m−1 + 1 + · · ·+ 1

2m )

≥ 1 + 1 2

+ 2 · 1 4

+ 4 · 1 8

+ · · ·+ 2m−1 1 2m

= 1 + m 2 −→ ∞

Par conséquent Sn ≥ 1 + m2 . Il en résulte donc que la série ∑ 1 n diverge.

Résultat fondamental : La série ∑ 1n est divergente.

2. Série géométrique ∑ n≥0

an :

La suite des sommes partielles est donnée par Sn = 1 + a + · · ·+ an. Alors, on a

Sn+1 = 1 + a + · · ·+ an+1 = 1 + a(1 + · · ·+ an) = 1 + aSn.

D’autre part, on a an+1 = Sn+1 − Sn et donc

an+1 = 1 + aSn − Sn = 1 + (a− 1)Sn.

Si |a| 6= 1 on a Sn = a n+1−1 a−1 et s’en suit alors que Sn diverge si |a| > 1 et

converge si |a| < 1. Dans ce dernier cas on a Sn → 1a−1 . Enfin, la série diverge si a = ±1. En effet pour a = 1, il est clair que Sn = n −→ +∞. Pour a = −1, le terme général an = (−1)n ne tend pas vers zero et donc la série diverge d’après la condition nécessaire de convergence des séries numériques. Résultat fondamental :

La série ∑ n≥0

an converge si et seulement si |a| < 1 et sa somme est +∞ ∑

n=0

1 a−1 .

1.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS 5

Definition 1.4. Soit ∑ un une série convergente. On appelle reste d’ordre n de cette série la quantité Rn donnée par

Rn = ∞

∑ k=n+1

uk.

On a alors

S = ∞

∑ k=0

uk = Sn + Rn.

Proposition 1.5. Le reste d’ordre n d’une série convergente ∑ un tend vers 0, lorsque n→ 0.

Preuve : En effet

Rn = ∞

∑ k=0

uk − Sn = S− Sn −→ 0. 

Proposition 1.6. Soient ∑ un et ∑ vn deux séries convergentes. Alors ∑(un + λvn) converge pour tout λ R.

Preuve : Il suffit de passer aux suites partielles. 

Proposition 1.7. On désigne par <un (resp. =un) la partie réele (resp. immaginaire) de un. Alors, on a

∑ un converge ⇔ {

∑<un ∑=un

converge ⇔∑ un.

Proposition 1.8. Soient ∑ un et ∑ vn deux séries convergentes telles que un ≤ vn. Alors

∑ n=0

un ≤ ∞

∑ n=0

vn

1.2 Séries à termes dans R+

Lemme 1.9. Soit ∑ un une série à termes positifs, un ≥ 0. Alors ∑ un converge si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée, c’est-à-dire ∃M > 0 tel que

Sn = n ∑

k=0 uk ≤ M, ∀n.

6 CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES FSR / SMP(S4)

Preuve : La série ∑ un converge si et seulement si (par définition) la suite (Sn)n converge. Mais comme (Sn)n est croissante, puisque un ≥ 0, on sait que (Sn)n converge si et seulement si elle est majorée. 

Théorème 1.10 (Critères de convergence). Soient les deux séries ∑ un et ∑ vn. Alors on a

1. Si 0 ≤ un ≤ vn, alors on a ∑ vn converge ⇒ ∑ un converge et ∑ un diverge ⇒ ∑ vn diverge.

2. Si un = O(vn) avec un ≥ 0 et vn ≥ 0, alors ∑ vn converge⇒ ∑ un converge. 3. Si un ∼ vn pour n→ +∞ et vn ≥ 0, alors ∑ un et ∑ vn sont de même nature 4. Régle nαun → 0 : S’il existe α > 1 tel que nαun → 0 alors ∑ un converge. 5. Régle de Cauchy : Soit un ≥ 0 telle que n

√ un → l, alors ∑ un converge si l < 1

et diverge si l > 1. 6. Régle de D’Alembert : Soit un > 0 telle que

un+1 un → l, alors ∑ un converge si

l < 1 et diverge si l > 1.

Mise en garde : Le cas l = 1 dans les régles de Cauchy et D’Alembert est un casqu’il conviendrait d’étudier à part dans chaque cas.

Exemple 1.11 (Exemple fondamental : Série de Riemann).

On considère la série ∑ 1nα avec α R.

• Si α ≤ 0 alors ∑ 1nα diverge car 1

nα 9 0.

• Si α = 1 alors la série ∑ 1n diverge (voir Exemples 1.3).

• Si 0 < α < 1, on a bien 1n < 1

nα est donc la série ∑ 1

nα diverge d’après (1) du théorème précédent. • Si α > 1, alors on a

1 nα

< ∫ n

n−1

dt tα

= 1

α− 1 ( 1 (n− 1)α−1 −

1 nα−1

) et donc

N

∑ n=1

1 nα ≤ 1

α− 1 N

∑ n=1

( 1 (n− 1)α−1 −

1 nα−1

) =

1 α− 1(1−

1 Nα−1

) ≤ 1 α− 1.

Il en résulte alors que ∑ 1nα converge puisque la suite SN = N ∑

n=1

1 nα est majorée.

Résultat fondamental : La série ∑ 1nα ; α R, converge si et seulement si α > 1.

1.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS 7

Exemples 1.12.

1. un = 2 2ne−2n

n . Par la régle de D’Alembert, on a

un+1 un

= 22(n+1)e−2(n+1)

n+1 22ne−2n

n

= (

2 e

)2( n n + 1

) −→

( 2 e

)2 < 1.

Donc ∑ 2 2ne−2n

n est convergente. On peut utiliser aussi la régle de Cauchy.

2. un = ( nn+1) n2 = (1 + 1n )

−n2 . Par la règle de Cauchy, on a

n √

un = (1 + 1 n )−n =

1 (1 + 1n )n

→ 1 e

< 1.

Alors ∑( nn+1) n2 converge.

3. Soit un = ( ann+1) n2 ; a ∈ R+,

Par la régle de Cauchy, on a n √

un

( a

(1+ 1n )

)n = a

n( 1+ 1n )n

• n√un → 0 si a < 1

• n√un → 1e < 1 si a = 1 • n√un → +∞ si a > 1

Par suite, la série ∑(un = ( ann+1) n2) ; a ∈ R+, converge si et seulement si a ≤ 1.

4. Soit un = an ln(1 + 1n )− b cos 1 n + c sin

1 n .

On sait que

ln(1 + 1 n ) =

1 n − 1

2n2 +

1 3n3

+ o( 1 n3

)

cos 1 n

= 1− 1 2n2

+ o( 1 n2

)

sin 1 n

= 1 n

+ o( 1 n2

).

8 CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES FSR / SMP(S4)

Il en résulte que

un = a− b + (c− a 2 )

1 n

+ ( a

3 +

b 2

) 1 n2

+ o( 1 n2

).

• Si a 6= b alors un −→ a− b 6= 0, et donc ∑ un diverge. • a = b et c 6= a2 alors un ∼ α

1 n et donc ∑ un diverge d’après (3) du théorème

précédent (puisque ∑ 1n diverge).

• Si a = b, c = − a2 et a 3 +

b 2 6= 0, alors un ∼ α

1 n2 , donc ∑ un converge.

• Si a = b, c = − a2 et a 3 +

b 2 = 0, alors un = o

( 1 n2 ) , donc ∑ un converge.

5. un = ∫ π

n 0

sin x 1+x2 dx.

Pour tout x ∈ [0, πn ] ⊂ [0, π] on a 1

1+π2 ≤ 1

1+x2 ≤ 1. D’où,

sin(x) 1 + x2

≤ sin(x)

car sin(x) ≥ 0 pour x ∈ [0, π]. On en déduit,

0 ≤ un ≤ ∫ π

n

0 sin dx = 1− cos π

n ∼ π

2

n2 .

Donc ∑ un converge.

Definition 1.13. La série ∑ un est dite absolument convergente si la série à termes posi- tifs ∑ |un| converge.

Proposition 1.14. Si la série ∑ un est absolument convergente, alors ∑ un converge

Preuve : Posons Sn = n ∑

k=0 uk et Tn =

n ∑

k=0 |uk|, on a

|Sn+p − Sn| = |un+1 + · · ·+ un+p| ≤ |un+1|+ · · ·+ |un+p| = Tn+p − Tn.

Mais (Tn) converge par hypothèse, donc (Tn) est de Cauchy. Il en résulte que (Sn) est aussi de Cauchy, et donc converge. 

1.3. SÉRIES ALTERNÉES 9

1.3 Séries alternées

Definition 1.15. La série ∑ un est dite alternée si et seulement si pour tout n ∈N, on a un = (−1)n|un| ou un = −(−1)n|un|.

Théorème 1.16. Soit ∑ un une série alternée. Si la suite (|un|)n décroit et |un| → 0, alors ∑ un converge.

Preuve : Supposons que un = (−1)n|un|, on a alors

S2p+2 − S2p = u2p+1 + u2p+2 = −|u2p+1|+ |u2p+2| ≤ 0

et S2p+3 − S2p+1 = u2p+3 + u2p+2 = −|u2p+3|+ |u2p+2| ≥ 0.

De plus S2p+1 − S2p = u2p+1 → 0.

Ainsi, les deux suites extraites (S2p)p et (S2p+1)p sont adjacentes et donc S2p et S2p+1 ont même limite. Ceci montre que (Sn)n converge. 

Exemples 1.17.

1. On considère la série ∑ (−1) n

nα avec α R.

• Si α ≤ 0, alors (−1) n

nα 9 0 et donc la série diverge.

• Si 0 < α ≤ 1, alors ∑ (−1) n

nα converge d’après le théorème précédent.

• Si α > 1, alors ∑ (−1) n

nα converge absolument et donc ∑ (−1)n

nα converge.

2. Soit un = 1n2+1((−1) nn + a) ; a ∈ R.

La série n’est pas absolument convergente, car |un| ∼ 1n et donc ∑ |un| ne converge pas. Pourtant, la série ∑ un est convergente. En effet, on a

un = (−1)nn n2 + 1

+ a

n2 + 1 = vn + wn

où vn = (−1)nn n2+1 est une suite alternée ↘0. Donc d’après le théorème précédent

∑ vn converge. Comme ∑ wn est aussi convergente (car an2+1 ∼ 1

n2 ), on conclut

alors que la série ∑ un est convergente.

Chapitre 2

Suites et Série de fonctions

2.1 Rappels

Soit K = R ou C et A ⊂ R. On note par F(A, K) l’espace vectoriel sur K des fonctions de A dans K, F(A, K) = { f : A→ K}. On dit que f ∈ F(A, K) est bornée si et seulement s’il existe une constante M > 0 tel que

| f (x)| ≤ M, ∀x ∈ A.

On note par B(A, K) le sous espace vectoriel de F(A, K) constitué des fonctions bornées,

B(A, K) = { f ∈ F(A, K), f borne} .

Par C(A, K) on désigne l’ensemble des fonctions continues de A dans K. C’est un sous espace vectoriel de F(A, K). Enfin, on définit la norme

|| f ||∞ = sup x∈A | f (x)|.

Théorème 2.1. Soit A = I = [a, b] avec a, b ∈ R et a < b. Alors, toute fonction continue sur [a, b] est bornée. De plus, il existe x1, x2 ∈ [a, b] tels que inf

x∈[a,b] f (x) =

f (x1) et sup x∈[a,b]

f (x) = f (x2),

f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2)∀x ∈ [a, b].

Théorème 2.2 (T.A.F). Soit f ∈ C(A, K) une fonction dérivable. On suppose de plus que | f ′(x)| ≤ M, ∀x ∈ A. Alors, on a

| f (x)− f (y)| ≤ M|x− y|, ∀x, y ∈ A.

10

2.2. SUITES DE FONCTIONS 11

2.2 Suites de fonctions

Definition 2.3.

1. On dit que la suite de fonctions ( fn)n converge simplement sur A vers la fonction f si pour tout x ∈ A, la suite numérique ( fn(x))n converge vers f (x).

2. On dit que ( fn)n converge uniformément sur A vers f et on écrit fn uni f .−→ si

sup x∈A | fn(x)− f (x)| converge vers 0. Cela signifie que la suite numérique

( ‖ fn − f ‖∞

) n

converge vers 0.

Propriété 2.4. Si fn uni f .−→ f , alors fn → f simplement.

Remarque pratique : Pour montrer que fn uni f .−→ f , on étudie | fn(x)− f (x)|. On essaie

de majorer |( fn(x))− f (x)| par une quantité un indépendante de x telle que un −→ 0.

Exemples 2.5.

1. Soit ( fn(x)) = nx 3

1+nx2 .

Pour x = 0 on a fn(0) −→ 0. Si x 6= 0 on a fn(x) −→ x. Alors, la suite de fonctions ( fn)n converge simplement sur R vers la foncion f (x) = x. De plus, on a

| fn(x)− f (x)| = |x|

1 + nx2 ≤ |x|.

• Si |x| ≤ 1√n , alors | fn(x)− f (x)| ≤ 1√ n .

• Du fait que nx21+nx2 ≤ 1 on déduit que n|x|

1+nx2 ≤ 1

n|x| . Il s’ensuit alors que si

|x| ≥ 1√n on a

| fn(x)− f (x)| = |x|

1 + nx2 ≤ 1

n|x| ≤ 1√ n

.

Par suite

sup x∈R | fn(x)− f (x)| ≤

1√ n −→ 0.

Alors, la suite de fonctions ( fn)n converge aussi uniformement sur R vers la fonc- tion f (x) = x.

12 CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIE DE FONCTIONS FSR / SMP(S4)

2. On considère la suite de fonctions fn(x) = ln(1 + xn ). Il est claire que cette suite converge simplement vers 0 sur R+ car

fn(x) ∼ x n

quand n −→ +∞.

Mais, elle ne converge pas uniformement sur R+. En effet, pour tout n ∈N∗ fixé, on a

sup x∈R+

| fn(x)− 0| = sup x∈R+

| fn(x)| = +∞.

Toutefois, elle converge uniformement vers 0 sur tout intervalle [0, a] fermé borné de R+ ; en effet pour tout x ∈ [0, a], on a | fn(x)| ≤ ln(1 + an ) et donc

sup x∈[0,a]

| fn(x)| ≤ ln(1 + a n ) n→∞−→ 0.

Théorème 2.6. Soit fn : I → R avec I = [a, b]. On suppose que fn −→ f uniforme- ment sur I.

1. Si les fn sont continues sur I, il en est de même de f .

2. Si les fn sont intégrables alors f est intégrable et

lim n

∫ b a

fn(x)dx = ∫ b

a f (x)dx.

3. On définit Fn(x) = ∫ x

a fn(t)dt et F(x) = ∫ x

a f (t)dt. Alors

Fn uni f .−→ F sur [a, b].

Preuve : On a

|Fn(x)− F(x)| = | ∫ x

a ( fn(t)− f (t))dt|

≤ ∫ x

a | fn(t)− f (t)|dt

≤ || fn − f ||∞|x− a|

Par suite |Fn(x)− F(x)| ≤ |b− a||| fn − f || −→ 0. 

2.2. SUITES DE FONCTIONS 13

Remarque et Exemple 2.7. On considère la suite des fonctions

fn(x) = { 1

n si x ∈ [0, n] 0 sinon

On a bien

fn uni f .−→ 0,

mais ∫ +∞ 0

fn(t)dt = 1 9 0.

Théorème 2.8. Le théorème précédent n’est plus vrai si I n’est pas un intervalle fermé borné. Soit fn : [a, b] −→ R une suite de fonctions vérfiant

i) Il existe α ∈ [a, b] tel que fn(α) n→+∞−→ l ∈ R

ii) f ′n uni f .−→ g.

Alors ( fn)n converge uniformement vers une fonction f qui est la primitive de g prenant la valeur l au point α, et on a f ′ = g.

Preuve : Pour tout x fixé, on a

fn(x) = fn(α) + ∫ x

α f ′n(t)dt.

Alors, par passage à la limite on obtient

lim n

fn(x) = l + ∫ x

α g(t)dt.

Si on pose f (x) = l + ∫ x

α g(t)dt, alors || fn − f ||∞ n→+∞−→ 0 d’après le théorème

précédent. En effet, posons

Fn(x) = ∫ x

α f ′n(t)dt = fn(x)− fn(α)

et F(x) = ∫ x

α g(t)dt. On a donc d’après le théorème précédent Fn −→ F unifor- mément sur [a, b]. C’est à dire puisque fn(α) −→ l :

fn(x) −→ l + ∫ x

α g(t)dt = f (x),

où f est la primitive de g qui prend la valeur l au point x = α. 

14 CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIE DE FONCTIONS FSR / SMP(S4)

2.3 Séries de fonctions

Definition 2.9.

1. On appelle série de fonctions un couple de deux suites ( fn)n et (Sn)n avec Sn = ∑

k≤n fk, on la note ∑ fn.

2. ∑ fn converge simplement sur A si la suite (Sn)n converge simplement sur A, c’est-à-dire si et seulement si pour tout x ∈ A la série numérique ∑ fn(x) converge. La fonction x 7−→ ∑

k≥n fk(x) est appelée reste de la série ∑ fn.

On note par +∞ ∑

n=0 fn la somme de la série ∑ fn, i.e. la fonction f définie par

( +∞ ∑ n=0

fn ) (x) =

+∞

∑ n=0

fn(x).

3. La série ∑ fn converge uniformement sur A si et seulement si la suite de fonctions (Sn)n converge uniformement sur A : Autrement dit s’il existe une fonction S : A→ R telle que

sup x∈A |sn(x)− s(x)| −→n 0.

4. La série ∑ fn converge absolument sur A si la série ∑ | fn| converge simplement sur A.

5. On dit que la série de fonctions ∑ fn converge normalement sur A si et seulement si la série ∑ || fn||∞ converge dans R+, avec

‖ f ‖∞ sup x∈A | fn(x)|.

Théorème 2.10.

1. Si la série ∑ fn converge normalement, alors ∑ fn converge uniformément, et donc ∑ fn converge simplement.

2. La série ∑ fn converge normalement si et seulement s’il existe une série ∑ un à termes positifs et convergente telle que

| fn(x)| ≤ un, ∀x, ∀n.

Exemples 2.11.

2.3. SÉRIES DE FONCTIONS 15

1. Soit fn(x) = sin nxn! . On a

| fn(x)| ≤ 1 n!

.

La sa série numérique ∑ 1n! converge. Alors ∑ fn converge normalement d’après 2) du théorème précédent.

2. Soit fn(x) = nx2e−x √

n sur R+. La série ∑ fn converge simplement mais pas normalement sur R+. En effet, pour tout n fixé, on a

f ′n(x) = nx(2− x √

n)e−x √

n.

Le tableau de variation de la fonction fn(x) montre que

|| fn||∞ = fn( 2√ n ) =

4 e2

.

Par suite la série numérique || fn||∞ diverge et donc ∑ fn ne converge pas norma- lement sur R+. • Pourtant, pour un réel a > 0 et un entier N ≥ 0 tel que 2√

N < a, on a bien

supx>a| fn(x)| = fn(a) = na2e−a √

n

et donc on a la convergence normale de la série ∑ fn sur tout [a, +∞[ ; a > 0. • Notons aussi que comme ‖ fn‖∞ = 4e2 9 0 alors la série ∑ fn ne converge

pas uniformément sur R+ = [0, +∞[. Mais, elle converge uniformément sur tout [a, +∞[ ; a > 0.

Théorème 2.12. Soit ∑ fn une série de fonctions définies sur I = [a, b]. On suppose que ∑ fn converge uniformément sur [a, b] et que les fn sont continues. Alors

i) La fonction f = ∑ fn est continue.

ii) La série ∑( ∫ b

a fn(t)dt) converge et on a

∫ b a

(∑ fn(x))dx = ∑( ∫ b

a fn(x)dx).

Théorème 2.13. Soit fn une suite de fonctions de classe C1 vérifiant i) ∑ fn converge simplement

16 CHAPITRE 2. SUITES ET SÉRIE DE FONCTIONS FSR / SMP(S4)

ii) ∑ f ′n converge uniformément.

Alors, on a a. ∑ fn converge uniformément. b. f = ∑ fn est de classe C1. c. f ′ = (∑ fn)′ = ∑ f ′n.

Chapitre 3

Série entières

3.1 Définition et première propriétés

Definition 3.1. Une série entière est une série de fonctions fn où fn(z) = anzn, autre- ment dit ce sont les séries de la forme

∑ anzn, an ∈ C.

Lemme 3.2 (d’Abel). S’il existe ρ C tel que ∑ |anρn| converge, alors pour tout z ∈ C tel que |z| ≤ |ρ|, la série ∑ anzn est absolument convergente.

Definition 3.3 (théorème). Soit ∑ anzn une série entière. Alors, il existe R ∈ [0, +∞] tel que

i) Si z ∈ C tel que |z| < R, alors ∑ anzn converge. ii) Si z ∈ C tel que |z| > R, alors ∑ anzn diverge.

R est appelé rayon de convergence de la série entière ∑ anzn.

Exemple 3.4. – La série ∑ zn est de rayon de convergence R = 1, et elle diverge pour tout z ∈ C

tel que |z| = 1.

– La série ∑ z n

n2 est de rayon de convergence R = 1, et converge pour tout z ∈ C tel

que |z| = 1.

Proposition 3.5 (Règle de D’Alembert). Si lim | an+1an | = l ∈ [0, +∞], alors le rayon de convergence de la série entière ∑ anzn est

R = 1 l

avec les conventions 10 = +∞ et 1

+∞ = 0.

17

18 CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES FSR / SMP(S4)

Proposition 3.6. Soit la série entière ∑ anxn. Alors la série entière dérivée ∑ n≥1

nanxn−1

a le même rayon de convergence que la série ∑ anxn.

Théorème 3.7.

1. ∑ anxn converge normalement sur tout intervalle fermé borné contenu dans ]− R, R[= IR

2. La fonction S(x) = ∑ anxn est continue sur IR 3. S(x) est de classe C∞ sur IR et on a pour tout k ∈N,

S(k)(x) = +∞

∑ n=k

n! (n− k)! anx

n−k.

3.2 Développement en série entière

Definition 3.8. On dit qu’une fonction f est développable en série entière s’il existe une série entière ∑ anxn de rayon de convergence R tel que

f (x) = ∑ anxn, x ∈ I ⊂]− R, R[,

et on a f est de classe C∞ sur I et

an = f n(0)

n! .

Proposition 3.9. Si f est développable en série entière avec f (x) = ∑ anxn, alors i) Si f est pair, alors a2p+1 = 0. ii) Si f est impair, alors a2p = 0.

Proposition 3.10. Soit f : I =] − a, a[−→ C une fonction de classe C∞. Alors f est développable en série entière, (DES(0)), si et seulement s’il existe α tel que 0 < α ≤ a et des constantes A > 0 et B > 0 vérifiant

∀x, −α < x < α, on a | f n(x)| ≤ B.Ann!.

Proposition 3.11. Soit f : I =]− α, α[−→ R une fonction de classe C∞ de formule de Taylor avc reste intégral

f (x) = n

∑ k=0

f (k)(0) k!

xk + ∫ x

0

(x− t)n n!

f (n+1)(t)dt.

3.2. DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE 19

Alors f est développable en série entière si et seulement s’il existe β ; 0 < β < α tel que

Rn( f )(x) := f (x)− n

∑ k=0

f (k)(0) k!

xk −→ 0, ∀x ∈]− β, β[.

Preuve : Il est clair que si f est développable en série entière alors Rn( f )(x) −→ 0 sur ]− R, +R[. Réciproquement, si Rn( f )(x) −→ 0 sur ]− β, β[, alors

n

∑ k=0

f (k)(0) k!

xk = f (x)− Rn( f )(x) −→ f (x).

De plus la série n ∑

k=0

f (k)(0) k! x

k est de rayon de convergence R ≥ β > 0. 

Exemples 3.12.

1. Soit ex = ∞ ∑

k=0

xk k! .

On a

ex = n

∑ 0

xk

k! + ∫ x

0

(x− t)n n!

etdt.

Alors ∣∣∣∣ ∫ x0 (x− t)nn! etdt ∣∣∣∣ ≤ max(1, ex)∣∣∣∣ ∫ x0 (x− t)nn! dt

∣∣∣∣ = max(1, ex)

∣∣∣∣ ∫ 0x (u)nn! du ∣∣∣∣

= max(1, ex) |x|n+1

(n + 1)!

Il en résulte que pour tout x ∈ R on a∣∣∣∣ ∫ x0 (x− t)nn! etdt ∣∣∣∣ n→∞−→ 0.

Par suite, pour tout x ∈ R on a

∑ k=0

f (k)(0) k!

xk = f (x)− Rn( f )(x) n→∞−→ f (x).

20 CHAPITRE 3. SÉRIES ENTIÈRES FSR / SMP(S4)

Enfin, ∞ ∑

k=0

f (k)(0) k! x

k est de rayon de convergence égale à +∞.

2. 11−x = ∞ ∑

k=0 xk.

3. Soit f (x) = cos(x).

cos(x) = n

∑ k=0

(−1)kx(2k) (2k)!

+ ∫ x

0

(x− t)n n!

cos(t)dt

= ∣∣∣∣ ∫ x0 (x− t)nn! cos(t)dt

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ∫ x0 unn! du ∣∣∣∣ = |xn+1|(n + 1)!

4. ln(1− x) = ∞ ∑

n=0

xn n .

Propriété 3.13 (Opérations). Soient f et g deux fonctions DES(0) avec f (x) = ∑ anxn et g(x) = ∑ bnxn. Alors

i) f + g est DES(0) et on a f + g = ∑(an + bn)xn.

ii) f × g est DES(0) et on a f × g = ∑ cnxn avec

cn = n

∑ k=0

akbn−k.

iii) f ′ est DES(0) et on a f ′ = ∞ ∑

n=1 nanxn−1.

iv) f (k) est DSE(0).

v) Les primitives de f sont aussi DES(0).

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