Notes sur l'algèbre quantique - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 janvier 2014

Notes sur l'algèbre quantique - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

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Notes de physique sur l'algèbre quantique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les représentatives, les valeurs et fonctions propres.
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R2. Bien que ce résultat puisse paraître étonnant il n'en est pas moins extrêmement correct

puisque découlant d'un raisonnement mathématique nous ne pouvons plus simple et rigoureux.

Considérons donc maintenant aussi la relation :

(42.79)

et en procédant de la même manière que précédemment, nous obtenons :

(42.80)

(cycl.)

Les deux relations :

et (42.81)

peuvent se résumer à:

(42.82)

en utilisant les coordonnées et moments généralisés et sont remarquables sous plusieurs

angles:

- Premièrement, parce qu'à partir de considérations purement théoriques et mathématiques

nous retrouvons également en physique quantique une incertitude équivalente (mais pas égale!)

à celle obtenue lors de notre étude des principes d'incertitudes de Heisenberg (qui rappelons-le

avaient été obtenues à partir d'un cas pratique classique).

Effectivement, si nous prenons le module du commutateur de gauche, nous avons alors la

"relation d'incertitude spatiale de Heisenberg" :

(42.83)

qui rappelons-le, peut également s'écrire sous la forme:

(42.84)

La constante de Planck étant extrêmement petite, cela explique que cet effet est impossible à

détecter à notre échelle macroscopique. Par contre, la masse des électrons étant extrêmement

petite aussi, la fraction ci-dessus devient notable pour un électron et l'effet de cette incertitude

est important!

Enfin, par commutation des composantes du quadrivecteur impulsions (cf. chapitre de Relativité

Restreinte), nous avons la "relation d'incertitude temporelle de Heisenberg" :

(42.85)

Une conséquence fantastique découle de l'incertitude sur le temps et l'énergie et de la relativité.

Imaginons-nous le vide le plus total (vide quantique) et supposons que nous regardions ce qui

ce passe en un point de l'espace donné pendant un temps très court. Alors le principe

d'incertitude temporelle nous dit que l'énergie de cet état (le vide!) est très imprécise. Or la

relativité dit que l'énergie c'est aussi de la masse (et aussi un champ), donc des particules.

Donc, pendant ce temps très court des particules peuvent apparaître spontanément du vide !

Nous les appelons des "particules virtuelles" car elles disparaissent très vite et sont engendrées

par les "fluctuations quantiques du vide".

Cette variation est suffisamment faible pour que nous puissions la mesurer aujourd'hui avec

nos instruments. Cependant, nous en observons les effets seulement dans les grands

collisionneurs de particules de la planète.

- Deuxièmement, ces relations sont remarquables parce que l'incertitude est une valeur

complexe. Ce qui amène à considérer que le corps des complexes est inhérentà la structure

réaliste de notre environnement (espace-temps) au niveau du monde quantique. Le monde

quantique est donc un monde d'incertitude complexe. Et cette probabilité ne semble pas être

une conséquence de notre imprécision ou de notre ignorance mais semble bien être une

propriété intrinsèque de la nature.

Remarque: Les relations et propriétés de commutation et d'anti-commutation seront

indispensables pour développer la théorie quantifiée du moment cinétique et du spin.

REPRÉSENTATIVES

Introduisons maintenant les notations quantiques contemporaines, que nous considérons pour

l'instant comme des abréviations d'intégrales portant sur des fonctions d'ondes, nous écrirons

(dans le but futur de calculer des densités de probabilités) :

(42.86)

car il s'agit d'un produit scalaire fonctionnel complexe (cf. chapitress d'Analyse Fonctionnelle et

de Calcul Vectoriel).

Avec cette notation, la relation que nous avions présentée lors de notre étude des opérateurs :

(42.87)

devient (c'est plus léger déjà... mais moins pédagogique) :

(42.88)

Cela dit, l'ensemble E des fonctions qui nous intéressent en physique quantique ondulatoire

constituent un espace linéaire fonctionnel. Effectivement, en physique quantique, les équations

différentielles que nous devons résoudre (équation de Schrödinger) pour décrire le

comportement d'une particule, sont telles que la solution générale peut être très souvent

décomposée en la somme des solutions particulières (nous démontrerons cela!). En

mathématique, nous disons alors que les états sont linéaires, c'est-à-dire que toute

combinaison d'états est encore un état.

Ainsi l'état d'une particule est, comme nous le démontrerons plus tard, représenté par un "état

quantique" ou un "vecteur d'état" noté qui correspond aussi à une fonction mathématique

la décrivant complétement.

Par exemple, si et sont deux états possibles, alors:

(42.89)

est également un état possible pour le système (de par la propriété des espaces linéaires

fonctionnels).

Revenons maintenant à notre espace linéaire fonctionnel (ou "espace linéaire des états"). Le fait

que l'ensemble Edes fonctions qui nous intéressent constituent un espace linéaire

fonctionnel signifie que si , nous avons aussi :

(42.90)

quels que soient les coefficients et (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Si les fonctions constituent un espace, il est alors naturel de chercher à les rapporter à une

base orthonormée. Ainsi, une suite de fonctions (qui sont les fonctions propres)

constituera une base orthonormée si nous avons (forme de relation démontrée en calcul

tensoriel):

(42.91)

où nous le rappelons, est le symbole de kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Définition: La base est dite "base complète" si bien évidemment toute fonction peut se

développer en série des fonctions propres tel que:

(42.92)

où est un nombre quelconque (c'est en partie ici qu'il faut revenir aux quatrième et

cinquième postulats de la physique quantique ondulatoire).

Calculons maintenant le produite scalaire fonctionnel (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

(42.93)

Cette dernière relation montre que nous avons identiquement (nous changeons la notation des

indices):

(42.94)

Ainsi, dans une base orthonormée complète , une fonction sera bien décrite par la

donnée des coefficients . Nous aurons souvent intérêt à les mettre sous le format de la

matrice représentative de dans la base :

(42.95)

Considérons maintenant un opérateur tel que:

(42.96)

Mais nous pouvons également écrire (remarquez l'apostrophe dans la relation!):

(42.97)

Multiplions cette dernière relation par et calculons le produit scalaire fonctionnel:

(42.98)

A comparer avec (obtenu plus haut) :

(42.99)

En notant , la "matrice représentative" de dans la base , nous pouvons d'après la

relation :

(42.100)

écrire finalement :

(42.101)

VALEURS ET FONCTIONS PROPRES

Soit un opérateur (hermitique ou non). Le nombre a est dit "valeur propre de l'opérateur"

de , s'il existe une fonction non identiquement nulle telle que (pour un rappel de notions

similaires voir le chapitre d'Algèbre Linéaire) :

(42.102)

est alors une "fonction propre" (en analogie avec les "vecteurs propres") de , associée à la

valeur propre de a. Notons que a peut très bien être nul (vous comprendrez mieux cela au

moment où nous passerons à l'étude de cas concrets).

En des termes plus physiques, cela revient à dire que lorsqu'un état (une fonction

mathématique au sens formel tel que ) est inchangée par un opérateur, l'état est alors appelé

"état propre" ou "vecteur propre" du système.

Soit l'ensemble des fonctions propres associées à a et un espace linéaire fonctionnel, que

nous nommerons le "sous-espace propre associé" à a. Le nombre de dimensions

de s'appelle "multiplicité" (ou "ordre de dégénérescence") de la valeur propre a, et nous le

notons g.

Soit maintenant a une valeur propre simple, ou non dégénérée, . Cela veut dire qu'il y a

une seule fonction propre associée à a, à un coefficient multiplicatif non nul près.

Si (valeur propre double), nous pouvons trouver deux fonctions propres non

proportionnelles (non liées) associées à a, etc.

Exemple:

Voyons un exemple particulier d'une fonction propre avec une valeur propre autre que le cas

classique de l'énergie.

Soit:

(42.103)

avec (opérateur que nous avons déjà vu précédemment) et a une valeur propre.

L'équation devient:

(42.104)

qui se vérifie aisément si :

(42.105)

qui est bien une fonction propre de l'opérateur susmentionné et qui nous sera des plus utiles

dans ce qui va suivre.

ORHTOGONALITÉ DES FONCTIONS PROPRES

Deux fonctions propres et associées à deux valeurs propres différentes sont

orthogonales, c'est-à-dire que:

(42.106)

Démonstration:

Partons avec la notation de de Dirac avec deux fonctions propres et deux valeurs propres

associées:

(42.107)

avec .

Nous multiplions respectivement les deux relations précédentes par , et nous intégrons

pour obtenir le produit scalaire fonctionnel:

(42.108)

Rappelons pour continuer que nous avons démontré que:

(42.109)

donc si l'opérateur est auto-adjoint (ce qui est le cas de l'hamiltonien comme nous l'avons

montré), c'est-à-dire que , nous avons:

(42.110)

Dès lors, en retranchant de la dernière relation le complexe conjugué de l'avant

dernière, a étant supposé réel (ou un entier...), nous avons :

(42.111)

ce qui montre bien que:

(42.112)

puisque .

C.Q.F.D

Voyons la même démonstration mais avec la notation traditionelle et plus pédagogique donne:

(42.113)

Si nous multiplions la première équation à gauche par , et la seconde équation par , et

que nous intégrons sur la totalité de l'espace, nous obtenons les deux expressions suivantes:

(42.114)

Si nous prenons le cas de fonctions réelles, nous pouvons écrire:

(42.115)

L'opérateur H étant hermitique (auto-adjoint) comme nous l'avons démontré plus haut, nous

avons:

(42.116)

et comme sont admis comme étant des fonctions réelles, nous avons aussi:

(42.117)

Donc:

(42.118)

S'écrit:

(42.119)

Il vient alors:

(42.120)

ce qui montre bien que sont orthogonales selon la définition du produit scalaire

fonctionnel.

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