Notes sur l'analyse des séries temporelles - 1° Partie, Notes de Gestion des affaires
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 janvier 2014

Notes sur l'analyse des séries temporelles - 1° Partie, Notes de Gestion des affaires

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Notes de gestion sur l'analyse des séries temporelles - 1° Partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définitions, RÉGRESSION LOGISTIQUE.
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Contrairement à l'économétrie traditionnelle, le but de l'analyse des séries temporelles (AST)

n'est pas de relier des variables entre elles, mais de s'intéresser à la dynamique d'une variable

dans le temps pour découvrir certaines régularités afin de pouvoir extrapoler ou d'établir des

prévisions sous réserve de l'hypothèse qu'on puisse relier une observation à celles qui l'ont

précédée. Avec une analyse fine, il est même possible d'établir des prévisions "robustes" vis-à-

vis de ruptures brusques et de changements non-anticipables.

Remarque: À majoritairement très bas niveaux de compétences, ce domaine est appelé "Business

Intelligence" dans les entreprises. Une variable analysée sous forme AST sera elle appelée un

"Indice de Performance Clé" (IPC) et un ensemble d'IPC un "tableau de bord".

Définition: Une "série temporelle" (plus rigoureusement on devrait parler de "suite"!) est une

suite d'observation d'une variable y à différentes dates t. Habituellement l'espace de base

de t est dénombrable, de sorte que . Le tout étant noté:

(395)

Une série temporelle est donc toute suite d'observations correspondant à la même variable: il

peut s'agit de données macroéconomiques (le PIB d'un pays, l'inflation, les exportations),

microéconomiques (les ventes d'une entreprise donnée, son nombre d'employés, le revenu d'un

individu, ...), financières (le CAC40, le prix d'une option d'achat ou de ventre, le cours d'une

action), météorologiques (la pluviosité, le nombre de jours de soleil par an...), politiques (le

nombre de votants, de voix reçues par un candidat...), démographiques (la taille moyenne des

habitants, leur âge...).

En pratique, tout ce qui est chiffrable et varie en fonction du temps peut être analysé

relativement pertinemment sous forme de AST tant que la personne qui manipule le modèles

sait ce qu'elle fait (ce qui est rare dès qu'on sort du domaine publique et étatique...).

(396)

La dimension temporelle est ici importante car il s'agit de l'analyse d'une chronique historique:

des variations d'une même variable au cours du temps, afin de pouvoir en comprendre la

dynamique. On représente en général les séries temporelles sur des graphiques de valeurs

(ordonnées) en fonction du temps (abscisses). Une telle observation constitue un outil essentiel

qui permet au modélisateur ayant un peu d'expérience de tout de suite se rendre compte des

propriétés dynamiques principales, afin de savoir quel test statistique pratiquer. La figure

précédente montrent différentes séries temporelles à titre d'exemples.

Définitions:

D1. Les séries qui oscillent autour de leur moyenne sont appelées "séries stationnaires".

D2. Les séries qui semblent croître ou baisser sur l'ensemble de l'échantillon observé sont

appelles des "séries tendancières" et leur moyenne n'est pas constante.

D3. Les séries qui ne sont ni stationnaires ni tendancières haussière ou baissière à long terme

sont appelées "séries non-stationnaires".

D4. Les séries qui présentent une périodicité régulière sont appelées "séries saisonnières".

Les caractéristiques de ces graphiques sont toutes modélisables et analysables dans le cadre de

l'analyse des séries temporelles. Il existe pour cela des outils plus ou moins complexes dont

certains ne peuvent être mis en doute et dont d'autres sont des modèles heuristiques qu'il faut

savoir manipuler et utiliser avec précaution.

Dans le texte qui va suivre, nous allons nous intéresser qu'aux modèles élémentaires

accessibles sans une artillerie mathématique lourde.

Définition: Nous appelons "processus Autorégressifs d'ordre 1" AR(1) le modèle déjà établi lors

de notre étude du processus de Wiener et noté dans le cas d'étude des séries temporelles par:

où la fonction WN (pour Wiener) est pour rappel ce que nous appelons un "bruit blanc".

La seule différence par rapport au mouvement "mouvement brownien standard" c'est qu'il y a ici

la présence d'un facteur d'inertie qui influence fortement la dynamique du processus.

Effectivement, comme il est très facile de le faire dans MS Excel conformément à la procédure

indiquée lors de notre étude des processus de Wiener:

Voici différents tracés de la série temporelle en fonction de quelques valeurs du facteur

d'inertie:

(397)

Si nous considérons comme un variable aléatoire spécifique (ayant une fonction de densité

donnée) que nous noterions X et comme une autre variable aléatoire spécifique (ayant une

fonction de densité donnée) que nous noterions Y, alors rien ne nous empêche étant connue les

fonctions de densité de chacune des ces variables, de calculer leur covariance:

Par exemple, dans la pratique nous connaissions souvent les espérances des deux variables

aléatoires aux deux moments différents ainsi que quelques unes des valeurs de leurs

distributions sous jacentes (réalisations aléatoires). Alors il devient aisé de calculer leur

covariance. Mais ce n'est pas un indicateur vraiment utile. Rien ne nous empêche en supposant

une relation linéaire d'utiliser le coefficient de corrélation linéaire:

(398)

Mais qui se note alors traditionnellement et trivialement dans le cas des séries temporelles:

(399)

et est appelé "coefficient d'autocorrélation".

Voici par exemple une famille de séries temporelles:

(400)

avec leur "corrélogramme" correspondant pour différentes valeurs de h (en abscisse) et la valeur

de en ordonnée:

(401)

Définition: Une série temporelle est dite "stationnaire au sens faible" si les premiers (espérance)

et second (ordre) moments existent et sont constant dans le temps:

(402)

La première condition (constance de l'espérance) élimine donc toute tendance. Si la fonction de

densité sous jacente à chaque est une loi Normale, alors nous parlons de "processus

Gaussien". Dans le cas contraire, nous dirons sur ce site qu'elle est non stationnaire.

Considérons un cas important dans de nombreuses entreprises sur certaines périodes plus ou

moins longues. Soit:

(403)

la moyenne temporelle. Si converge en probabilité vers quand nous disons que le

processus est "ergodique pour la moyenne". Donc quand :

(404)

RÉGRESSION LOGISTIQUE

Il arrive toujours dans les entreprises que dans l'analyse d'un produit ou d'un service, que celui-

ci voie son nombre de ventes croître, ensuite passer par un point d'inflexion et ensuite aller

vers une asymptote pour diminuer à nouveau par la suite avec une caractéristique similaire.

Le modèle logistique permettant de simuler un tel comportement dans le cadre de l'analyse des

séries temporelles (à ne pas confondre avec celle définie en Statistiques) est défini ainsi:

(405)

et inspiré de nombreux modèle que nous retrouvons en physique et où est le seuil de

saturation (asymptote horizontale) qui peut être déterminée suite à un audit du marché et son %

de pénétration.

Remarque: Il faut aussi savoir que ce modèle est bien meilleur que celui utilisé par le lissage

exponentiel compris dans l'Utilitaire d'Analyse de MS Excel. Une simple observation

comparative des résultats obtenus suffit à s'en rendre compte.

b et r sont eux deux paramètres du modèle tels que:

(406)

le point d'inflexion est toujours donné par le cumul de 50% du seuil de saturation. Le résultat

est alors une courbe en S du type suivant:

(407)

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