Notes sur l'équation de Klein-Gordon généralisée - 2° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur l'équation de Klein-Gordon généralisée - 2° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur l'équation de Klein-Gordon généralisée - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le calcul des dérivées, la relation.
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(43.46)

Par différence (1)-(2) :

(43.47)

Le calcul des dérivées par rapport à t des fonctions suivantes :

(43.48)

Par différence (1)-(2)

(43.49)

Ce qui nous donne finalement :

(43.50)

Soit f un champ scalaire et et un champ vectoriel. L'analyse vectorielle donne :

(43.51)

Posons :

(43.52)

Dès lors :

(1)

(43.53)

Posons maintenant :

(43.54)

Dès lors :

(2)

(43.55)

Soustrayons (1)-(2) :

(43.56)

Comme :

(43.57)

En changeant les signes :

(43.58)

Cette dernière relation et :

(43.59)

donnent :

(43.60)

A nouveau, rapprochons cette relation avec l'équation de continuité :

(43.61)

Rappelons que lors de notre première étude de l'équation de Klein-Gordon nous avons vu qu'en

mécanique quantique son équivalent est donné par la même équation mais avec les

significations suivantes : est la densité de probabilité, est la densité du flux de particules.

Nous avons donc :

(43.62)

Si la fonction d'onde associée et sa conjuguée complexe :

(43.63)

Les dérivées par rapport au temps de ces fonctions

(43.64)

Les gradients se calculent comme suit :

(43.65)

En reprenant l'expression de la densité de probabilité et compte tenu de différentielles

précédentes, il vient :

(43.66)

La densité de probabilité a donc pour expression :

(43.67)

En reprenant l'expression de la densité de courant et compte tenu de des différentielles, il vient

:

(43.68)

La densité de courant a pour expression :

(43.69)

En se plaçant dans la situation des connaissances de l'époque, l'équation de Klein-Gordon

présente plusieurs pathologies et inconvénients.

- La densité de probabilité peut devenir négative (puisque comme nous l'avons vu,

l'énergie peut l'être aussi), ce qui est inexplicable. Une telle situation n'existe pas avec

l'équation de Schrödinger.

- L'équation de Klein-Gordon a l'inconvénient d'être du second ordre en (l'équation de

Schrödinger est elle du premier ordre). L'évolution temporelle nécessite dont la connaissance

non seulement de mais également de sa dérivée

- Si nous appliquions cette équation à l'atome d'hydrogène, nous ne retrouverions pas les

mêmes niveaux d'énergie en structure fine.

Tout ceci a conduit à l'époque qui précède les travaux de Dirac, à un rejet de cette équation qui,

de plus, ne tenait pas compte du spin.

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