Notes sur l'équation de Navier-Stokes - 2° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur l'équation de Navier-Stokes - 2° partie, Notes de Physiques

PDF (195 KB)
10 pages
257Numéro de visites
Description
Notes de physique sur l'équation de Navier-Stokes - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les tensions de cisaillement, les déplacements par unité de temps, L'équation dynamique des contraintes géné...
20 points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 10

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 10 pages

Télécharger le document

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 10 pages

Télécharger le document

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 10 pages

Télécharger le document

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 10 pages

Télécharger le document

(34.201)

Compte tenu du quadruplet de groupes d'équations démontrés précédemment dans cette

section (voir les déformations des solides):

(34.202)

Nous pouvons résumer:

(34.203)

Généralement, nous posons pour simplifier les notations (il faut cependant ne pas croire que la

déformation en cisaillement devient une déformation normale ! ce n'est qu'une convention

d'écriture dont le physicien doit se rappeler !):

(34.204)

De même, nous posons:

(34.205)

Soit finalement:

(34.206)

En tenant compte que:

(34.207)

Nous obtenons les tensions de cisaillement comme suit:

(34.208)

Considérons maintenant, pour exemple, un fluide circulant dans la direction de OY avec un

gradient de vitesse dans la direction de x :

(34.209)

En se plaçant au niveau de y et au point 1 d'abscisse x, nous avons une vitesse et au point 2

d'abscissex+dx, une vitesse:

(avec ) (34.210)

Dans la direction de x, il n'y a pas de composante de vitesse donc:

(avec ) (34.211)

Nous supposons maintenant que les tensions de cisaillement sont proportionnelles à à un

facteur près tel que:

(34.212)

avec:

(34.213)

Il donc possible de considérer des déplacements par unité de temps en posant:

(34.214)

En rapprochant cette dernière relation de:

(34.215)

nous pouvons dire alors que G initialement valable dans un milieu élastique solide considéré

par ses déplacements est l'analogue de dans le cas d'un fluide visqueux considéré par les

déplacements par unité de temps. Ainsi, nous voyons que les unités sont conservées.

En considérant également les déformations par unité de temps pour les contraintes normales

(nous y reviendrons en détail un peu plus loin), nous avons alors le système d'équations:

(34.216)

Ainsi, nous obtenons une écriture condensée:

(34.217)

où est le symbole de Kronecker :

= (34.218)

Le tenseur décrit ainsi en partie l'ensemble de contraintes d'un fluide visqueux dans lequel

nous avons supposé dans le cadre de l'hypothèse d'un fluide newtonien qu'il y a des relations

linéaires entre les tensions et les déformations normales.

Nous posons maintenant la somme des contraintes dynamiques sous une forme générale que

nous allons justifier:

(34.219)

où le terme se justifie par le fait que dans le cas statique, une pression dynamique

constante p existe toujours en un point d'un fluide que l'on a pas dans le cas d'un solide. Pour

justifier le signe négatif, nous observerons que dans l'expression de , les deux premiers

termes du membre de droite correspondent, dans ''étude précédente ,à des contraintes

d'extension, alors que la pression p correspond à une compression du fluide

Il nous reste à présent, à déterminer le coefficient . Soit , nous avons alors . Il

vient successivement et par addition:

(34.220)

Cette expression doit répondre à un fluide qui est également dans une situation statique tel

que:

(34.221)

Il vient alors que dans le cas statique:

(34.222)

Puisque:

(34.223)

Nous avons alors:

(34.224)

L'expression générale des contraintes s'écrit alors pour un fluide newtonien:

(34.225)

Présentement, nous allons introduire les opérateurs de l'analyse vectorielle afin de disposer

d'une expression plus générale. De cette façon, nous pourrons adapter la formulation à

n'importe quel système de coordonnées (cartésiennes, cylindriques, sphériques,...) ce qui

facilitera la résolution de problèmes pratiques.

Nous avons vu que pour un solide, nous avions:

(34.226)

Nous allons déterminer les équations sous la forme indicielle en considérant toujours les

déplacements par unité de temps (vitesses).

(34.227)

tel que et que

Pour nous avons ainsi:

ou (34.228)

Pour nous avons:

ou (34.229)

Nous pouvons dès lors écrire:

(34.230)

En effectuant la somme des termes de:

(34.231)

Or, les outils de l'analyse vectorielle nous permettent d'écrire:

(34.232)

Pour le fluide, nous aurons ainsi:

(34.233)

L'équation dynamique des contraintes générale s'écrira alors sous la forme suivante pour un

fluide newtonien:

(34.234)

Tenseurs des contraintes que certains auteurs notent (l'écriture est un peu dangereuse mais elle

a une justification dans un cadre d'étude plus approfondi des fluides!):

(34.235)

ou encore pour différencier vecteur et tenseur:

(34.236)

Si les contraintes normales (fluide incompressible) sont négligeables le deuxième terme se

simplifie et nous avons alors (relation que nous retrouverons dans le chapitre de Génie Marin Et

Météo):

(34.237)

Il est, à présent, utile de repasser sous une forme développée pour l'équation précédente, en se

rappelant que (voir plus haut):

(34.238)

Écrivons maintenant le système d'équations de Newton (sommes des contraintes dynamiques

internes et externes à un élément de volume d'un fluide) qui est:

(34.239)

où:

- est la somme des forces externes par unité de volume

- est l'accélération massique

- est la densité du fluide

et qui peut s'écrire sous forme condensée:

(34.240)

avec:

(34.241)

Nous avons:

(34.242)

En introduisant les expressions de obtenues dans la relation ci-dessus, nous aboutissons

aux équations:

(34.243)

Ce sont les "équations de Navier-Stokes de la dynamique des fluides newtoniens". Il en existe

deux formes condensées que nous allons de suite déterminer:

En reprenant la première équation de Navier-Stokes et en la développant, il vient :

(34.244)

Comme:

(34.245)

et que:

(34.246)

Nous obtenons:

(34.247)

En simplifiant, il vient finalement:

(34.248)

En opérant de la même manière pour les deux autres composantes, nous pouvons réduire le

système d'équations de Navier-Stokes à une seule équation vectorielle :

(34.249)

Comme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

(34.250)

Nous avons:

(34.251)

Soit en final:

(34.252)

Remarque: Nous trouvons également parfois dans la littérature, une équation contenant une

seconde viscosité , alors que se manifeste rigoureusement que lors du cisaillement pur

selon nos hypothèses, apparaît lors d'une compression omnidirectionnelle s'accompagnant

d'une variation de densité.

L'équation précédente s'écrit alors :

(34.253)

C'est "l'équation de Navier-Stokes" ou aussi appelée "équation de mouvement pour un fluide

newtonien".

commentaires (0)

Aucun commentaire n'a été pas fait

Écrire ton premier commentaire

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 10 pages

Télécharger le document