Notes sur l'espace métrique et la distance, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur l'espace métrique et la distance, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'espace métrique et la distance. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: notion de espace métrique, exemples, les distances équivalentes, les fonctions lipschitziennes.
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ESPACE MÉTRIQUE ET DISTANCE

Définition: Un "espace métrique" noté (X,d) ou encore est par définition un

ensemble X muni d'une application , appelée "distance" ou "métrique", qui

satisfait les axiomes suivants:

A1. (positivité)

A2. (axiome de séparation)

A3. (inégalité triangulaire)

A4. (axiome de symétrie)

Remarques:

R1. Certains lecteurs verront de suite que certaines de ces propriétés ont déjà été vues dans

d'autres chapitres du site lors de l'étude des distances entre points fonctionnels et lors de l'étude

des normes (inégalité triangulaire démontrée dans le chapitre de Calcul Vectoriel - la symétrie, la

nullité, la positivité, la séparation dans le chapitre d'Analyse Fonctionelle).

R2. Certains auteurs omettent l'axiome A1 ce qui est rigoureusement juste car découle

trivialement de A3.

R3. Un espace métrique sera en général noté (X,d) ou bien encore . Nous pouvons également

le noter simplement X si la distance d ne peut être confondue.

La "fonction distance" de est donc notée habituellement dans le plus général qui soit

en mathématique :

(18.4)

Remarques:

R1. Si nous n'imposons pas l'axiome A2, nous disons que d est une "semi-distance" sur X.

R2. Si nous autorisons une semi-distance d à prendre la valeur , nous préférons dire que d est

un "écart"

R3. Si une distance d vérifie la propriété :

(18.5)

propriété plus contraignante que l'inégalité triangulaire dans certains espaces, nous disons

que d est "ultra-métrique".

Un exemple de distance ultra-métrique est l'arbre généalogique:

(18.6)

Nous avons les distances suivantes:

(18.7)

Nous remarquons que les distances ne s'ajoutent pas mais que nous avons par contre:

(18.8)

Ainsi:

(18.9)

R4. Soit (E,d) un espace métrique et soit une partie de l'ensemble E. L'espace

métrique où désigne la restriction de d à est appelé "sous-espace

métrique" de (E,d) (il convient de vérifier que la distance d est équivalente à la distance ).

Dans ce cas, nous disons aussi queF est muni de la distance induite par celle de E. Nous notons

simplement d la distance induite.

Exemples:

E1. Si nous prenons pour X le plan, ou bien l'espace à trois dimensions de la géométrie

euclidienne et une unité de longueur, la "distance" au sens usuel du terme est bien une distance

au sens des 5 axiomes précédemment cités. Dans ces espaces, les trois points A, B, C satisfont

comme nous l'avons démontré en Calcul Vectoriel et comme il l'est intuitivement que :

(18.10)

avec les autres inégalités obtenues par permutation circulaire de A, B, C. Ces inégalités sont

bien connues par exemple entre les longueurs des côtés d'un triangle.

E2. Si nous prenons , et que nous dotons d'une structure d'espace

vectoriel euclidienne (et non pas non-euclidienne) et que nous prenons deux points :

(18.11)

dans .

La distance est donnée nous le savons par (nous avons déjà démontré cela en Analyse

Fonctionnelle et Calcul Vectoriel) :

(18.12)

qui satisfait aux 5 axiomes de la distance et que nous appelons la "distance euclidienne". Nous

pouvons prendre (c'est une propriété intéressante pour la culture générale), que toute relation

de la forme :

(18.13)

est aussi une distance dans (sans démonstration). Les mathématiciens font encore plus fort

en généralisant encore plus (la démonstration à peu d'intérêt pour l'instant) cette dernière

relation (en prenant en compte la définition même de la distance) sous la forme :

(18.14)

qui est appelée "distance hölderienne".

Remarque: Suite à l'intervention d'un internaute nous précisons qu'en toute rigueur l'inclusion ci-

dessus devrait être notée où est la droite achevée (précision également valable

pour l'inégalité de Minkowski ci-dessous).

Au même titre pour l'inégalité triangulaire, donnée alors par (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(18.15)

La généralisation, de par la vérification de l'existence de la distance de hölderienne, nous donne

la vraie "inégalité de Minkowski" :

(18.16)

Dans le cas particulier avec , nous avons bien évidemment :

(18.17)

qui est la distance usuelle sur .

E3. Si nous prenons , nous considérerons la distance :

(18.18)

Ainsi, si et nous avons le module qui de même manière

que la norme dans , forme une distance :

(18.19)

E4. Considérons aussi un ensemble arbitraire. Posons :

si et si (18.20)

Il est très facile de vérifier que cette distance vérifie les 5 axiomes et qu'elle est de plus ultra-

métrique. Cette distance est appelée "distance discrète" et le lecteur remarquera que nous

avons par analogie opté pour cette distance le symbole de la fonction Dirac (ce n'est pas

innocent !!) plutôt que la traditionnel d.

DISTANCES ÉQUIVALENTES

Parfois, deux distances différentes d et sur un même ensemble E sont assez ressemblantes

pour que les espaces métriques liés possèdent les mêmes propriétés pour

certains objets mathématiques définis par d d'une part, par . Il existe plusieurs notions de

ressemblances dont voici une première (avant les autres qui nécessitent des outils

mathématiques que nous n'avons pas encore définis) :

Définition: Soient d et deux distances sur un même ensemble E, d et sont dites "distances

équivalentes" s'il existe deux constantes réelles telles que

(18.21)

soit :

(18.22)

avec . Nous noterons par ailleurs cette équivalence .

L'intérêt de cette définition est le suivant : si nous avons convergence pour l'une des métriques,

alors nous aurons la convergence pour l'autre aussi. Plus clairement :

(18.23)

in extenso:

(18.24)

FONCTIONS LIPSCHITZIENNES

Relativement aux définitions précédentes, nous pouvons maintenant définir quelques

propriétés supplémentaires aux fonctions telles que nous les avions énoncées dans le chapitre

de Théorie Des Ensembles :

Soient (E,d) et des espaces métriques, et soit une fonction. Nous définissons

les propriétés suivantes :

P1. Nous disons que f est une "isométrie" si (c'est plutôt intuitif...!):

(18.25)

Si nous prenons la distance usuelle, la fonction k-lipschitzienne s'écrit alors:

(18.26)

ou ce que nous pouvons écrire également:

(18.27)

Ou ce qui revient au même: toutes les cordes tracées entre 2 points quelconques du graphe ont

un coefficient directeur (dérivée) compris entre -k et k.

Par exemple, la fonction sin(x) est 1-lipschitzienne (car la dérivée du cosinus est en valeur

absolue compris entre 0 et 1).

P2. Nous disons que deux espaces métriques sont "isométriques" s'il existe une isométrie

surjective de l'un sur l'autre (ce qui est assez rassurant en géométrie...).

P3. f est dite "L-lipschitzienne" de constante (ou "de rapport") L s'il existe tel que :

(18.28)

Si , nous disons que f est "contractante" (ou une "contraction"), et si , nous disons

que f est strictement contractante.

P4. Toute fonction f lipchitzienne est uniformément continue (voir plus loin voir plus loin le

concept "d'uniforme continue") si elle vérifie :

(18.29)

avec et (la réciproque n'est pas vraie : toute fonction uniformément continue

n'est pas nécessairement continue). En d'autres termes, si nous pouvons rapprocher deux

points aussi près que nous voulons dans un espace, nous le pouvons aussi dans l'autre (ce qui

assure en quelque sorte la dérivation).

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