Notes sur l'intégration - 1° partie, Notes de Physiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
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Notes de sciences physiques sur le thème de l'énergie et technologie des matériaux. Analyse numérique. Méthode des volumes finis - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le dénombrement, la thèorie d...
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Table des matières

Introduction iii

1 Dénombrement (rappels) 1 1.1 Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Théorie de la mesure 5 2.1 Tribus et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Intégrales des fonctions étagées mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Fonctions mesurables et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Intégrales des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.2 Intégrales des fonctions mesurables de signe quelconque. . . . . . . . . 11

2.5 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Ensembles négligeables 17

4 Théorèmes limites 21 4.1 Stabilité de la mesurabilité par passage à la limite. . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Théorèmes de convergence pour les intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3 Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Mesure produit et théorèmes de Fubini 33 5.1 Théorèmes de Fubini et Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Fondements de la théorie des probabilités 41 6.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.2 Espérance d’une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.4 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.4.1 Lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.4.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.5 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.6 Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

i

6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.7.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.7.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Variables indépendantes 59 7.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1.1 Événements et variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.1.2 Densités de variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2 Lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.3 Somme de deux variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.4.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.4.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8 Convergence de variables aléatoires 71 8.1 Les différentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8.3 Théorème central-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.4.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.4.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9 Conditionnement 83 9.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 9.2 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 9.3.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10 Variables gaussiennes 89 10.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.2 Gaussiennes et espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A Table de la loi normale 93

Introduction

Le but de ce cours est d’introduire les notions de théorie de la mesure qui seront utiles en calcul des probabilités et en analyse. Il est destiné aux étudiants qui veulent poursuivre leurs études dans un master à composante mathématique. Pour un cours plus complet, se reporter à la bibliographie.

Informations utiles (partiels, barêmes, annales, corrigés, . . .) : http ://math.unice.fr/∼rubentha/cours.html.

PRÉREQUIS : Pour pouvoir suivre ce cours, l’étudiant doit connâıtre, entre autres, les développements limités, les équivalents, les études de fonction, le dénombrement, les nombre complexes, la théorie des ensembles., les intégrales et primitives usuelles, la trigonométrie . . .etc . . .

iii

Chapitre 1

Dénombrement (rappels)

1.1 Ensembles dénombrables

Définition 1.1.1. Injection. Soit E,F des ensembles, f : E → F est une injection si ∀x, y ∈ E, f(x) = f(y) ⇒ x = y.

Définition 1.1.2. Surjection. Soit E,F des ensembles, f : E → F est une surjection si ∀z ∈ F , ∃x ∈ E tel que f(x) = z.

Définition 1.1.3. Bijection. Soit E,F des ensembles, f : E → F est une bijection si f est une injection et une surjection.

Proposition 1.1.4. Soient E,F,G des ensembles. Soient f : E → F , g : F → G. Alors [f et g injectives] ⇒ [g ◦ f injective].

Démonstration. Soient x, y tels que g ◦ f(x) = g ◦ f(y). L’application g est injective donc f(x) = f(y). L’application f est injective donc x = y.

Définition 1.1.5. On dit qu’un ensemble E est dénombrable s’il existe une injection de E dans N. Dans le cas où F est infini, on peut alors démontrer qu’il existe alors une bijection de E dans N. (Cela revient à dire que l’on peut compter un à un les éléments de E.)

Exemple 1.1.6. Tout ensemble fini est dénombrable.

Exemple 1.1.7. Z est dénombrable car l’application

f : Z → N

k 7→ {

2n si n ≥ 0 −2n− 1 si n < 0

est bijective (donc injective).

0 1 2 3−1−2−3

0 2 413

Fig. 1.1 – Énumération des éléments de Z.

1

2 CHAPITRE 1. DÉNOMBREMENT (RAPPELS)

Exemple 1.1.8. N× N est dénombrable car l’application

f : N× N → N

(p, q) 7→ (p+ q)(p+ q + 1) 2

+ q

est bijective (donc injective).

0 1

2

9

5 8

74

3 6

Fig. 1.2 – Énumération des éléments de N× N.

Exemple 1.1.9. L’ensemble Q est dénombrable. L’ensemble R n’est pas dénombrable.

Proposition 1.1.10. Si on a E0, E1, . . ., En, . . .des ensembles dénombrables alors E = E0 ∪ E1 ∪ E2 ∪ · · · = ∪

n≥0 En est un ensemble dénombrable.

(En d’autres termes, une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.)

Démonstration. S Pour tout i ≥ 0, Ei est dénombrable donc ∃fi : Ei → N injective. Soit

F : ∪ n≥0

En → N× N

x 7→ (i, fi(x)) si x ∈ Ei

Cette application F est injective. L’ensemble N×N est dénombrable donc il existe g : N×N → N injective. Par la proposition 1.1.4, g ◦ F est injective. Donc ∪

n≥0 En est dénombrable.

1.2 Exercices

Tous les exercices de ce chapitre n’ont pas un lien direct avec le cours. Par contre, ils constituent des révisions nécessaires à la suite du cours.

1.2.1 Énoncés

1) Rappel : Si f : E → F et A ⊂ F , f−1(A) = {x ∈ E : f(x) ∈ A}. Si C ⊂ E, f(C) = {f(x), x ∈ C}. On considère l’application f : R → R, x 7→ x2. (a) Déterminer f([−3,−1]), f([−3, 1]), f(]− 3, 1]). (b) Déterminer f−1(]−∞, 2]), f−1(]1,+∞[), f−1(]− 1, 0] ∪ [1, 2[).

2) Calculer les limites suivantes :

(a) limx→0 sin(x)

log(1+x)

(b) limx→+∞ (

1 + 2x )x

(c) limx→0 1−cos(x) x sin(x)

1.2. EXERCICES 3

(d) limx→0 1−(1+x)α 1−(1+x)β pour α, β > 0.

3) Calculer les intégrales suivantes :

(a) ∫ +∞ 0 x

2e−xdx

(b) ∫ +∞ e1

1 (log(z))2zdz

(c) ∫ 1

0 1

(2−x)(1+x)dx

(d) ∫ π/4

0 cos2(x)+sin2(x)

cos2(x) dx.

4) Intégrales de Wallis Pour tout n ∈ N, on pose :

In =

∫ π/2

0

sinn(x)dx .

(a) Calculer I0 et I1.

(b) Donner une relation de récurrence entre In et In+2.

(c) En déduire que :

∀p ∈ N, I2p = (2p− 1)(2p− 3) . . . 1

2p(2p− 2) . . . 2 π

2 et I2p+1 =

2p(2p− 2) . . . 2 (2p+ 1)(2p− 1) . . . 1 .

(d) Montrer que ∀p ∈ N, I2p+1 ≤ I2p ≤ I2p−1. En déduire que limp→+∞ I2pI2p+1 = 1. (e) En déduire la formule de Wallis :

lim p→+∞

1

p

[

2p(2p− 2) . . . 2 (2p− 1)(2p− 3) . . . 1

]2

= π .

(f) Montrer que ∀n ∈ N, In ∼ n→+∞

π 2n .

1.2.2 Corrigés

(1) (a) f([−3,−1]) = [1, 9], f([−3, 1]) = [0, 9], f(]− 3, 1]) = [0, 9[. (b) f−1(] − ∞, 2]) = [−

√ 2, √ 2], f−1(]1,+∞[) =] − ∞,−1[∪]1,+∞[, f−1(] − 1, 0] ∪

[1, 2[) = {0}∪]− √ 2,−1] ∪ [1,

√ 2[.

(2) (a) sin(x)log(1+x) ∼x→0+ x x = 1 →x→0+ 1

(b) (

1 + 2x )x

= ex log(1+ 2 x) et x log

(

1 + 2x )

∼ x→+∞

2x x →x→+∞ 2 donc par continuité de la

fonction exp : (

1 + 2x )x →

x→+∞ e2

(c) 1−cos(x)x sin(x) = (x2/2)+o(x2)

x2+o(x2) ∼x→0 x2

2x2 = 1/2

(d) 1−(1+x) α

1−(1+x)β = αx+o(x) βx+o(x) ∼x→0

αx βx =

α β

(a) on intègre par parties :

∫ +∞

0

x2e−xdx = [−x2e−x]+∞0 + ∫ +∞

0

2xe−xdx

= 0 + [−2xe−x]+∞0 + ∫ +∞

0

2e−xdx

= [−2e−x]+∞0 = 2

(b) changement de variable : t = log(z), z = et, dz = etdt

∫ +∞

e1

1

(log(z))2z dz =

∫ +∞

1

1

t2 dt

= [−1/t]+∞1 = 1

4 CHAPITRE 1. DÉNOMBREMENT (RAPPELS)

(c) on décompose 1(2−x)(1+x) = 1/3 2−x +

1/3 1+x (toujours possible pour une fraction ratio-

nelle à pôles simples) et donc :

∫ 1

0

1

(2− x)(1 + x)dx = [

−1 3 log(2− x) + 1

3 log(1 + x)

]1

0

= 1

3 log(4)

(d) changement de variable : t = tan(x), x = arctan(t), dx = 11+t2 dt

∫ π/4

0

cos2(x) + sin2(x)

cos2(x) dx =

∫ π/4

0

1 + tan2(x)dx

= [tan(x)] π/4 0 = 1

(3) (a) I0 = ∫ π/2

0 1dx = π2 , I1 =

∫ π/2

0 sin(x)dx = [− cos(x)]π/20 = 1.

(b) On intègre par parties pour tout n ≥ 2 :

In+2 =

∫ π/2

0

sinn+1(x) sin(x)dx

= [− sinn+1(x) cos(x)]π/20 + (n+ 1) ∫ π/2

0

sinn(x) cos2(x)dx

= (n+ 1)(In − In+2)

d’où In+2 = n+1 n+2In.

(c) Démonstration par récurrence de la formule pour I2p (démonstration similaire pour I2p+1) : – c’est vrai en p = 0

– si c’est vrai jusqu’au rang p alors I2p+2 = 2p+1 2p+2I2p =

(2p+1)(2p−1)...1 (2p+2)(2p)...2

π 2

(d) ∀p ∈ N, ∀x ∈ [0, π/2], 0 ≤ sin2p+1(x) ≤ sin2p(x) ≤ sin2p−1(x) donc par intégration ∀p ∈ N, I2p+1 ≤ I2p ≤ I2p−1, donc 1 ≤ I2pI2p+1 ≤

I2p−1 I2p+1

= 2p+12p , donc

lim p→+∞

I2p I2p+1

= 1

(e) on déduit de la question précédente : limp→+∞ π 2

[

(2p−1)(2p−3)...1 2p(2p−2)...2

]2

(2p + 1) = 1,

d’où la formule de Wallis

(f) On fait la démonstration pour n impair . Soit n = 2p+ 1 :

I2p+1 = 2p(2p− 2) . . . 2 (2p+ 1) . . . 1

=

√ p

2p+ 1

1

p

(

2p(2p+ 2) . . . 2

(2p− 1) . . . 1

)2

∼ p→+∞

1 √

2(2p+ 1)

√ π .

Chapitre 2

Théorie de la mesure

La théorie de la mesure est l’outil utilisé pour modéliser le hasard.

2.1 Tribus et mesures

2.1.1 Tribus

Dans la suite, on utilisera un ensemble Ω que l’on appellera « univers ». Il contient tous les aléas possibles.

Définition 2.1.1. Une famille A de parties de Ω est une tribu (sur Ω) si elle vérifie 1. Ω ∈ A 2. A ∈ A ⇒ Ac ∈ A (stabilité par passage au complémentaire) 3. A0, A1, A2, · · · ∈ A ⇒ ∪n≥0An ∈ A (une réunion dénombrable d’éléments de A est

dans A)

Remarque 2.1.2. On rappelle que :

– Ac := {x ∈ Ω : x /∈ A} – Une tribu est un ensemble de parties. Ces parties sont appelées « événements ».

Proposition 2.1.3. Stabilité par intersection dénombrable. Soient A une tribu et A0, A1, A2, · · · ∈ A, alors ∩

n≥0 An ∈ A.

Démonstration. On note pour tout n, Bn = A c n. Donc, par définition d’une tribu, Bn ∈ A, ∀n

et ∪ n≥0

Bn ∈ A.

∩ n≥0

An = ∩ n≥0

Bcn

=

(

∪ n≥0

Bn

)c

( par définition ) ∈ A .

Exemple 2.1.4. Pour n’importe quel ensemble Ω, A = {∅,Ω} est une tribu.

Exemple 2.1.5. Pour n’importe quel ensemble Ω, , A = P(Ω) (les parties de Ω) est une tribu.

Proposition 2.1.6. Soit A ⊂ P(Ω), il existe une tribu notée σ(A) telle que si B est une tribu telle que A ⊂ B alors σ(A) ⊂ B. On dira que σ(A) est la plus petite tribu contenant A, ou encore que σ(A) est la tribu engendrée par A.

5

6 CHAPITRE 2. THÉORIE DE LA MESURE

Définition 2.1.7. Soit l’ensemble de parties de R ∪ {+∞,−∞} suivant :

A = {]a, b[: a, b ∈ R ∪ {+∞,−∞}}

(c’est l’ensemble des intervalles ouverts). La tribu σ(A) s’appelle la tribu des boréliens et se note B(R).

Exemple 2.1.8. Soit [a, b] intervalle fermé de R. Les intervalles ]−∞, a[, ]b,+∞[ sont dans B(R). La famille B(R) est une tribu donc ] − ∞, a[∪]b,+∞[∈ B(R) (stabilité par réunion dénombrable), et donc aussi (] − ∞, a[∪]b,+∞[)c = [a, b] ∈ B(R) (stabilité par passage au complémentaire). De même, on peut montrer que tous les intervalles de R sont dans B(R), ainsi que tous les singletons (les ensembles de la forme {x}, x ∈ R).

2.2 Mesures

Notation 2.2.1. Dans le calcul des mesures, on adopte les conventions de calcul suivantes (qui ne sont pas valables ailleurs) : ∀x ∈ R, x+∞ = +∞, 0×∞ = 0.

Définition 2.2.2. Soit Ω un ensemble muni d’une tribu A. On dit que µ est une mesure (positive) sur (Ω, A) si :

1. µ : A → [0,+∞] (elle peut prendre la valeur ∞) 2. µ(∅) = 0 3. si A0, A1, A2, · · · ∈ A et sont deux à deux disjoints alors µ( ∪

n≥0 An) =

n≥0 µ(An).

Quand µ est une mesure sur (Ω, A) est telle que µ(Ω) = 1, on dit que µ est une mesure de probabilité (cette définition sera rappelée plus tard dans le cours). La tribu A contient tous les événements possibles et, pour A ∈ A, µ(A) est la probabilité que A se produise.

Définition 2.2.3. Quand µ est telle que µ(Ω) < ∞, on dit que µ est une mesure finie.

Définition 2.2.4. Quand on a un ensemble Ω avec une tribu A sur Ω, on dit que (Ω,A) est un espace mesurable. Si on a de plus, une mesure µ sur (Ω,A), on dit que (Ω,A, µ) est un espace mesuré.

Exemple 2.2.5. Le triplet (N,P(N), card) est un espace mesuré. Nous avons vu (exemple 2.1.5) que P(N) est une tribu sur N. De plus :

1. Pour A ∈ P(N), card(A)(= le nombre d’éléments de A) est bien dans [0,+∞]. 2. La partie ∅ est de cardinal 0. 3. Si A0, A1, · · · ∈ P(N) sont deux à deux disjoints, card( ∪

n≥0 An) =

n≥0 card(An).

Proposition 2.2.6. Croissance et mesure d’une différence Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré. Soit A,B ∈ A tels que B ⊂ A.

– Alors µ(B) ≤ µ(A). – Si, de plus µ(A) < +∞, alors µ(A\B) = µ(A)− µ(B).

(Rappel : A\B = {x : x ∈ A, x /∈ B}.)

Démonstration. On a µ(A) = µ(A\B) + µ(B) (car A\B et B sont disjoints). Donc µ(B) ≤ µ(A). Si µ(A) < +∞, nous avons alors µ(A\B) = µ(A)− µ(B).

Proposition 2.2.7. Sous-additivité. Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré. Si A0, A1, A2, · · · ∈ A (pas forcément deux à deux disjoints). Alors µ( ∪

n≥0 An) ≤

n≥0 µ(An).

2.2. MESURES 7

Démonstration. On pose pour tout entier k ≥ 1, Bk = Ak\ ∪0≤i≤k−1 Ai (et nous avons alors, par convention, B0 = A0). Les ensembles B0, B1, B2, . . . sont deux à deux disjoints. Nous avons

µ( ∪ n≥0

An) = µ( ∪ n≥0

Bn)

(car B0, B1, B2, . . . deux à deux disjoints) = ∑

n≥0 µ(Bn)

(car ∀n, Bn ⊂ An) ≤ ∑

n≥0 µ(An)

Proposition 2.2.8. Mesure d’une réunion croissante. Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré. Soient A0, A1, · · · ∈ A tels que A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ . . . . Alors µ( ∪

k≥0 Ak) = limn→∞ µ(An)

Démonstration. Posons pour tout k ≥ 1, Bk = Ak\Ak−1(= {x : x ∈ Ak, x /∈ A+ k − 1}) et B0 = A0.

0A A

B1B

1

2

A 2

Les ensembles B0, B1, B2, . . . sont deux à deux disjoints. Donc

µ( ∪ k≥0

Ak) = µ( ∪ k≥0

Bk)

= ∑

k≥0 µ(Bk)

= lim n→+∞

n ∑

k=0

µ(Bk)

On a ∀n, ∑nk=0 µ(Bk) = µ(An). Donc µ( ∪k≥0Ak) = limn→+∞ µ(An).

Proposition 2.2.9. Mesure d’une intersection décroissante. Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré. Soient A0, A1, · · · ∈ A tels que A0 ⊃ A1 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ An+1 ⊃ . . . et tels que µ(A0) < +∞. Alors µ( ∩

k≥0 Ak) = limn→+∞ µ(An).

Démonstration. Posons pour tout k, Bk = Ak\Ak+1. Les ensembles B0, B1, B2, . . . sont deux à deux disjoints.

8 CHAPITRE 2. THÉORIE DE LA MESURE

A

B B0

1

A

A

1

2

0

Nous avons ∩ k≥0

Ak = A0\ ∪ k≥0

Bk, donc (par la proposition 2.2.6)

µ( ∩ k≥0

Ak) = µ(A0)− µ( ∪ k≥0

Bk)

(mesure d’une réunion disjointe) = µ(A0)− ∑

k≥0 µ(Bk)

= µ(A0)− lim n→+∞

n ∑

k=0

µ(Bk)

= lim n→+∞

(µ(A0)− µ(B0)− · · · − µ(Bn)) (mesure d’une réunion disjointe) = lim

n→+∞ (µ(A0)− µ( ∪

0≤k≤n Bk))

(cf. prop. 2.2.6) = lim n→+∞

µ(An+1) .

Théorème 2.2.10. Mesure de Lebesgue. Il existe une mesure λ sur (R,B(R)) vérifiant 1. pour tout intervalle ]a, b[, λ(]a, b[) = b− a 2. ∀A ∈ B(R), ∀x ∈ R, λ({y : y − x ∈ A}) = λ(A) .

Cette mesure λ s’appelle la mesure de Lebesgue.

Exemple 2.2.11. Mesure de Lebesgue d’un intervalle quelconque. Soient a ≤ b des éléments de R. Nous avons

λ([a, b]) = λ(]a− 1, b+ 1[\(]a− 1, a[∪]b, b+ 1[)) (par Prop. 2.2.6) = λ(]a− 1, b+ 1[)− λ(]a− 1, a[∪]b, b+ 1[)

(réunion disjointe) = λ(]a− 1, b+ 1[)− λ(]a− 1, a[)− λ(]b, b+ 1[) = (b+ 1− (a− 1))− (a− (a− 1))− (b+ 1− b) = b− a .

De même, λ([a, b[) = λ(]a, b]) = b− a. Exemple 2.2.12. Mesure de Lebesgue d’un singleton. Soit x ∈ R, ∀n ≥ 1, {x} ⊂ [x − 1/n, x + 1/n]. Donc, en utilisant la prop. 2.2.6, ∀n ≥ 1, λ({x}) ≤ λ([x − 1/n, x+ 1/n]) = 2/n. Donc λ({x}) = 0. Exemple 2.2.13. Mesure de Lebesgue de Q. On sait que Q est dénombrable. Donc on peut numéroter ses éléments : Q = {u0, u1, u2, . . .}. Pour tout entier n ≥ 1, on définit An = ∪

i≥0

[

ui − 1n2i , ui + 1n2i ]

. On a pour tout n, Q ⊂ An (donc, par la prop. 2.2.6, λ(Q) ≤ λ(An)) et, par la prop. 2.2.7, λ(An) ≤

i≥0 λ ([

ui − 1n2i , ui + 1n2i ])

= 2 n . Et donc λ(Q) = 0.

2.3. INTÉGRALES DES FONCTIONS ÉTAGÉES MESURABLES POSITIVES. 9

2.3 Intégrales des fonctions étagées mesurables posi-

tives.

On se donne un espace mesuré (Ω,A, µ). Définition 2.3.1. Soit f : Ω → R+. On dit que f est étagée (positive) s’il existe une famille finie A1, . . . , An de A telle que

– les Ai forment une partition de Ω (ce qui veut dire que A1, . . . , An sont deux à deux disjoints et que Ω = ∪

1≤i≤n Ai)

– ∀i ∈ {1, . . . n}, ∃ai tel que f(x) = ai, ∀x ∈ Ai. Remarque 2.3.2. Si f est une fonction étagée définie avec une partition A1, . . . , An, il peut exister une autre partition B1, . . . , Bm (différente de A1, . . . , An) telle que f est constante sur chacun des Bi.

Définition 2.3.3. Soit A ⊂ Ω. La fonction indicatrice de A est la fonction 1A : Ω → {0, 1}

x 7→ {

1 si x ∈ A 0 si x /∈ A .

Il existe d’autres notations. Par exemple si A = [0, 1] ⊂ R, on peut écrire 1A(x) = 1x∈[0,1] = 10≤x≤1.

Lemme 2.3.4. Si A ⊂ Ω, B ⊂ Ω alors ∀x, 1A(x) × 1B(x) = 1A∩B(x). Exemple 2.3.5. La fonction

f : R → R

x 7→

0 si x < 0

⌊x⌋ si x ∈ [0, 2] 0 sinon

est une fonction positive étagée (⌊x⌋ signifie « partie entière »). En effet, elle est constante sur ]−∞, 0[, [0, 1[, [1, 2[, {2}, ]2,+∞[.

0 1 2

1

2

Fig. 2.1 – Dessin de f .

Avec des fonctions indicatrice, nous pouvons écrire f de manière plus compacte :

f(x) = ⌊x⌋1[0,2](x) = 1[0,2[(x) × ⌊x⌋+ 2× 1{2}(x) = . . . . Définition 2.3.6. Soit f une fonction positive étagée associée à une partition A1, . . . , An (avec f(x) = ai si x ∈ Ai). On appelle intégrale de f par rapport à µ le nombre suivant

f(x)µ(dx) :=

n ∑

i=1

aiµ(Ai) .

Ce nombre peut être +∞. Une fonction positive étagée f est dite intégrable si ∫

Ω f(x)µ(dx) <

+∞.

10 CHAPITRE 2. THÉORIE DE LA MESURE

Remarque 2.3.7. La valeur de ∫

Ω f(x)µ(dx) est indépendante de la partition associée à f .

2.4 Fonctions mesurables et intégrales

2.4.1 Intégrales des fonctions mesurables positives

Définition 2.4.1. Application mesurable. Soient (Ω,A), (Ω′,A′) deux espaces mesurables. On dit qu’une application f : Ω → Ω′ est mesurable (par rapport aux tribus A, A′) si ∀B ∈ A′, f−1(B) := {x ∈ Ω : f(x) ∈ B} ∈ A.

Proposition 2.4.2. – Toute fonction continue f : (R,B(R)) → (R,B(R)) est mesurable. – Si f et g sont des fonction mesurables (Ω,A) → (R,B(R)) alors f + g, f × g, fg sont

mesurables. – Si f : (Ω,A) → (Ω′,A′) est mesurable et g : (Ω′,A′) → (Ω′′,A′′) est mesurable alors

g ◦ f : (Ω,A) → (Ω′′,A′′) est mesurable.

De manière générale, toute fonction (R,B(R)) → (R,B(R)) définie par une formule est mesurable.

Proposition 2.4.3. Mesure image. Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré. Soit (Ω′,B) un espace mesurable. Soit f : Ω → Ω′ mesu- rable. L’application ν : B → [0,+∞] définie par ν(B) = µ(f−1(B)) est une mesure appelée mesure image de µ par f . (Rappel : f−1(B) := {x ∈ Ω : f(x) ∈ B}.)

Démonstration. Vérifions d’abord que ν est bien définie : ∀B ∈ B, f−1(B) ∈ A car f est mesurable, donc ν(B) est bien défini. On a donc ν : B → [0,+∞].

Puis ν(∅) = µ(f−1(∅)) = µ(∅) = 0 car µ est une mesure. Enfin, si B0, B1, B2, · · · ∈ B sont deux à deux disjoints, ν( ∪

n≥0 Bn) = µ(f

−1( ∪ n≥0

Bn)) =

µ( ∪ n≥0

f−1(Bn)). En effet f−1( ∪ n≥0

Bn) = {x ∈ Ω : f(x) ∈ ∪ n≥0

Bn} = ∪ n≥0

{x ∈ Ω : f(x) ∈ Bn}. Soient m 6= n, si x ∈ f−1(Bn), f(x) ∈ Bn, donc f(x) /∈ Bm (car B0, B1, B2, . . . sont deux à deux disjoints), donc x /∈ f−1(Bm), donc f−1(Bn)∩ f−1(Bm) = ∅. Donc, puisque µ est une mesure,

ν( ∪ n≥0

Bn) = µ( ∪ n≥0

f−1(Bn))

= ∑

n≥0 µ(f−1(Bn))

= ∑

n≥0 ν(Bn) .

Donc ν est une mesure.

Définition 2.4.4. Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré. Si f : Ω → [0,+∞] est mesurable (par rapport aux tribus A et B(R)) positive, l’intégrale de f sur Ω par rapport à la mesure µ est définie par

f(x)µ(dx) := sup φ∈E(f)

φ(x)µ(dx)

où E(f) := {φ étagée positive : φ(x) ≤ f(x), ∀x ∈ Ω}. Cette intégrale peut prendre sa valeur dans [0,+∞].

Pour B ∈ A, on note ∫

B

f(x)µ(dx) =

f(x)1B(x)µ(dx) .

Définition 2.4.5. Une fonction mesurable positive f est dite intégrable si ∫

Ω f(x)µ(dx) <

∞.

2.4. FONCTIONS MESURABLES ET INTÉGRALES 11

Proposition 2.4.6. Croissance de l’intégrale. Soient f, g deux fonctions positives mesurables sur (Ω,A, µ). Si f ≤ g (ce qui veut dire f(x) ≤ g(x), ∀x) alors

Ω f(x)µ(dx) ≤ ∫

Ω g(x)µ(dx).

Démonstration. Nous avons E(f) ⊂ E(g) car f ≤ g. Donc

sup φ∈E(f)

φ(x)µ(dx) ≤ sup φ∈E(g)

φ(x)µ(dx) .

Cette proposition admet comme corollaire le théorème suivant.

Théorème 2.4.7. Théorème de comparaison. Soient f, g deux fonctions positives mesurables sur (Ω,A, µ). Si f ≤ g et g est intégrable alors f est intégrable.

Définition 2.4.8. Soit µ mesure sur (R,B(R)). La mesure µ est dite avoir pour densité la fonction f ≥ 0 sur R (par rapport à λ) si ∀φ mesurable positive R → R,

R

φ(x)µ(dx) =

R

φ(x)f(x)λ(dx) .

Ceci implique, en particulier, que ∀B ∈ B(R),

µ(B) =

B

f(x)λ(dx) .

Théorème 2.4.9. Linéarité de l’intégrale. Soit f fonction positive mesurable sur (Ω,A, µ) et a ≥ 0, alors :

f(x) + g(x)µ(dx) =

f(x)µ(dx) +

g(x)µ(dx)

et ∫

af(x)µ(dx) = a

f(x)µ(dx) .

En particulier, si f et g sont intégables alors f + g aussi.

Théorème 2.4.10. Inégalité de Markov. Soient f, g deux fonctions positives mesurables sur (Ω,A, µ). Soit a > 0. Alors :

µ({x ∈ Ω : f(x) ≥ a}) ≤ 1 a

f(x)µ(dx) .

Démonstration. On a a1{y:f(y)≥a} ≤ f donc par théorème de comparaison (théorème 2.4.7) : ∫

a1{y:f(y)≥a}(x)µ(dx) ≤ ∫

f(x)µ(dx) .

La fonction a1{y:f(y)≥a} est une fonction étagée et on calcule son intégrale : ∫

a1{y:f(y)≥a}(x)µ(dx) = a× µ({y : f(y) ≥ a}) + 0× µ({y : f(y) < a}) .

D’où le résultat.

2.4.2 Intégrales des fonctions mesurables de signe quelconque.

Soit une espace mesuré (Ω,A, µ). Soit f : Ω → R mesurable. Elle peut toujours s’écrire f = f+ − f− avec f+ et f− mesurables positives :

f+(x) =

{

f(x) si f(x) ≥ 0 0 sinon

f−(x) =

{

0 si f(x) ≥ 0 −f(x) sinon.

12 CHAPITRE 2. THÉORIE DE LA MESURE

Définition 2.4.11. Une fonction f mesurable sur un espace mesuré (Ω,A, µ) est dite inté -grable si f+ et f− le sont (voir définition 2.4.5 de l’intégrabilité des fonctions mesurables positives) et dans ce cas, on définit l’intégrale de f (sur Ω par rapport à µ) par

f(x)µ(dx) :=

f+(x)µ(dx) − ∫

f−(x)µ(dx)

et, ∀A ∈ A, l’intégrale de f sur A par ∫

A

f(x)µ(dx) :=

f(x)1A(x)µ(dx) .

Lemme 2.4.12. Soit f une fonction mesurable sur un espace mesuré (Ω,A, µ) et intégrable. Alors

f(x)µ(dx)

≤ ∫

|f(x)|µ(dx)

Démonstration. ∣

f(x)µ(dx)

=

f+(x)µ(dx) − ∫

f−(x)µ(dx)

≤ ∣

f+(x)µ(dx)

+

f−(x)µ(dx)

=

f+(x)µ(dx) +

f−(x)µ(dx)

=

|f(x)|µ(dx) .

Ce lemme peut aussi être vu comme une conséquence de l’inégalité de Jensen (cf. exercice 4 du chapitre 4 et théorème 6.3.1).

Théorème 2.4.13. Linéarité et croissance. Pour l’intégrale d’une fonction de signe quelconque, on a encore la linéarité et la croissance comme dans la proposition 2.4.6 et le théorème 2.4.9.

Remarque 2.4.14. Lien intégrale de Lebesgue/intégrale de Riemann. Quand (Ω,A, µ) = (R,B(R), λ), l’intégrale

Ω f(x)µ(dx) =

R f(x)λ(dx) que nous venons de

définir s’appelle l’intégrale de Lebesgue sur R. Vu la définition 2.4.11, l’intégrale de Lebesgue sur un intervalle [a, b] est donnée par

[a,b]

f(x)λ(dx) :=

R

f(x)1[a,b](x)λ(dx) .

L’intégrale de Riemann est celle qui se calcule avec la primitive. Si f admet une primitive F alors son intégrale de Riemann est

∫ b

a

f(x)dx = [F (x)] b a = F (b)− F (a)

avec la convention que si F n’est pas définie en a (et pareil en b), par exemple parce que a = −∞, alors F (a) = limx→a,x∈[a,b] F (x). On parle alors d’intégrale généralisée (ou d’intégrale de Riemann généralisée). L’intégrale de Riemann n’est définie que si F (a) et F (b) sont finis.

On a les règles de signe suivantes :

∫ b

a

f(x)dx = − ∫ a

b

f(x)dx

[a,b]

f(x)λ(dx) =

[b,a]

f(x)λ(dx) .

2.5. FONCTION DE RÉPARTITION 13

Dans le cas où f a une intégrale de Riemann, nous avons l’égalité suivante entre les deux types d’intégrales si a ≤ b

[a,b]

f(x)λ(dx) =

∫ b

a

f(x)dx .

C’est en général avec cette formule que l’on calculera les intégrales. On écrira parfois : ∫

[a,b]

f(x)λ(dx) =

[a,b]

f(x)dx .

2.5 Fonction de répartition

L’étude de la fonction de répartition d’une mesure va nos permettre de mettre en œuvre les théorèmes de ce chapitre.

Définition 2.5.1. Soit µ mesure sur (R,B(R)) telle que µ(R) < +∞. On définit la fonction de répartition de µ par :

Fµ : R → [0,+∞[ x 7→ Fµ(x) = µ(]−∞, x]) .

Proposition 2.5.2. Soit µ mesure sur (R,B(R)) telle que µ(R) < +∞. La fonction Fµ est croissante, càdlàg (continue à droite avec une limite à gauche), limx→+∞ Fµ(x) = µ(R), limx→−∞ Fµ(x) = 0.

Démonstration. Soient x ≤ y. Nous avons ]−∞, x] ⊂]−∞, y] donc, par la proposition 2.2.6, Fµ(x) = µ(]−∞, x]) ≤ µ(]−∞, y]) = Fµ(y).

Soit x ∈ R et (un)n≥0 suite de R telle que un ≥ x et un ≥ un+1, ∀n et limn→+∞ un = x. Pour tout n, ]−∞, un+1] ⊂]−∞, un], ∩

n≥0 ]−∞, un] =]−∞, x] et µ(]−∞, u0]) ≤ µ(R) < ∞,

donc, par la propostion sur l’intersection décroissante (prop. 2.2.9) limn→+∞ µ(]−∞, un]) = µ( ∩

n≥0 ]−∞, un]) = µ(]−∞, x]). En d’autres termes : limn→+∞ Fµ(un) = F (x). Ceci prouve

que F est continue à droite. Soit x ∈ R et (un)n≥0 suite de R telle que un < x et un ≤ un+1, ∀n et limn→+∞ un = x.

Pour tout n, ] −∞, un+1] ⊃] −∞, un], ∪ n≥0

] − ∞, un] =] − ∞, x[, donc par la propriété de réunion croissante (prop. 2.2.8), limn→+∞ F (un) = µ(]−∞, x[). Ceci prouve que Fµ a une limite à gauche (égale à µ(]−∞, x[)).

On trouve également la limite de Fµ en +∞ en utilisant la proprété de réunion croissante et la limite de Fµ en −∞ en utilisant la propriété d’intersection décroissante.

Remarque 2.5.3. Dans la proposition précédente, la limite à gauche en x de Fµ est µ(]− ∞, x[) et Fµ(x) = µ(]−∞, x]). Par la proposition 2.2.6, µ(]−∞, x])−µ(]−∞, x[) = µ({x}). Donc Fµ(x) = µ(]−∞, x[) si et seulement si µ({x}) = 0.

2.6 Exercices

2.6.1 Énoncés

1) Rappel : Pour une famille d’ensemble (An)n∈N, on note ⋂

n≥0 An = {x : ∀n, x ∈ An} et ⋃

n≥0 An = {x : ∃n tel que x ∈ An} (a) Déterminer

n≥0]1, 1 + 1/(n+ 1)].

(b) Déterminer ⋂

n≥0]1, 2 + 1/(n+ 1)].

(c) Déterminer ⋂

n≥0]1− 1/(n+ 1), 2]. (d) Soit f : R → R, x 7→ x2. Déterminer f−1(⋃n≥0[1/(n+ 1),+∞[).

2) Soit Ω un ensemble et soient A0, A1, . . . des parties de Ω.

(a) On suppose dans cette question que A0 ⊂ A1 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ . . . . Posons pour tout n ≥ 1, Bn = AnAn−1 (rappel : AC = {x ∈ A : x /∈ C}). Montrer que les ensembles Bn sont deux à deux disjoints.

14 CHAPITRE 2. THÉORIE DE LA MESURE

(b) On note : ∀A ⊂ Ω, Ac = {x ∈ Ω : x /∈ A}. Montrer que ∪ n≥0

Acn = ( ∩ n≥0

An) c.

(c) Montrer que ( ∪ n≥0

Acn) c = ∩

n≥0 An.

3) Soit A1, ..., An une partition de R. Montrer que A = { ⋃

i∈I Ai : I ⊂ {1, ..., n}} est une tribu. (A est constitué de toutes les réunions possibles d’ensembles Ai.)

4) Soit

Card : P(N) → [0,+∞] A 7→ Card(A) = le nombre d’éléments de A .

Montrer que Card est une mesure sur (N,P(N)). 5) On se donne un espace mesurable (E,A).

(a) Soit x ∈ E, on note δx : A → [0,+∞]

B 7→ δx(B) {

= 1 si x ∈ B = 0 sinon .

Montrer que δx est une mesure sur (E,A). (Cette mesure s’appelle la mesure de Dirac en x.)

(b) Soient x1, ..., xk des éléments distincts de E et p1, ..., pk ∈ R∗+. On note

µ : A → [0,+∞] B 7→ µ(B) =

1≤i≤k piδxi(B)

Montrer que µ est une mesure sur (E,A). 6) Soit A = ∪n≥0[n, n + 12n [. Calculer λ(A). (On se servira du fait que A est réunion

d’ensembles disjoints et on utilisera la propriété d’additivité.)

7) (a) Soit x ∈ R, calculer λ({x}) (utiliser la propriété de croissance). (b) Soit x0, x1, x2, · · · ∈ R, calculer

λ(∪n≥0{xn}) (utiliser la propriété de sous-additivité).

(c) En déduire que λ(Q) = 0. Calculer λ([0, 1]\Q). 8) Un ensemble de Cantor.

Pour n ≥ 1, on note : An = {x ∈ [0, 1[, x n’a que des 1 ou des 5 dans son développement décimal

jusqu’à l’ordre n} An est donc l’ensemble des x ∈ [0, 1[ qui s’écrivent x = 0, u1u2 . . . unun+1 . . . avec u1, . . . , un ∈ {1, 5}. (a) Calculer λ(An) pour tout n.

(b) Soit B = ∩n≥1An, calculer λ(B) (utiliser la propriété d’intersection décroissante). 9) Mesures à densité.

(a) Soit µ mesure sur (R,B(R)) de densité 1[0,1](x) par rapport à la mesure de Lebesgue. Calculer µ([0, 1]), µ([0, 2]), µ([0, 1/2]), µ({1/2}).

(b) Soit µmesure sur (R,B(R)) de densité 1x>0e−x par rapport à la mesure de Lebesgue. Calculer µ(R), µ({1}), µ([0, 1]), µ([1,+∞[).

(c) Soit µ mesure sur (R,B(R)) de densité 1x>0xe−x 2/2 par rapport à la mesure de

Lebesgue. Calculer µ([0, 1]).

10) (a) Montrer que 0 ≤ 1e1 ∫ e1

0 (cos(x)) 2dx ≤ 1.

(b) Montrer que 0 ≤ ∫ 2

0 e−x

2/2 √ 2π

dx ≤ 2√ 2π

.

(c) Montrer que 0 ≤ ∫ π/2

π/3 sin(log(1 + u))du ≤ 12 .

2.6. EXERCICES 15

2.6.2 Corrigés

(1) (a) ⋂

n≥0]1, 1 + 1/(n + 1)] = ∅ car 1 /∈ ⋂

n≥0]1, 1 + 1/(n + 1)] et ∀x 6= 1, ∃n tel que x /∈]1, 1 + 1/(n+ 1)] et donc x /∈ ⋂n≥0]1, 1 + 1/(n+ 1)]

(b) ⋂

n≥0]1, 2 + 1/(n+ 1)] =]1, 2]

(c) ⋂

n≥0]1− 1/(n+ 1), 2] = [1, 2] (d)

n≥0[1/(n+ 1),+∞[=]0,+∞[ donc f−1( ⋃

n≥0[1/(n+ 1),+∞[) = f−1(]0,+∞[) = R{0} = R∗

(2) (a) Soient k 6= n, k < n. Ak ⊂ An−1 donc ∀x ∈ Ak, x /∈ Bn. Comme Bk ⊂ Ak, alors Bk ∩Bn = ∅

(b) – Si x ∈ ( ∩ n≥0

An) c alors x /∈ ∩

n≥0 An donc ∃n tel que x /∈ An. Donc ∃n tel que

x ∈ Acn. Donc x ∈ ∪ n≥0

Acn.

– Si x ∈ ∪ n≥0

Acn alors ∃n tel que x /∈ An. Donc x /∈ ∩ n≥0

An. Donc x ∈ ( ∩ n≥0

An) c.

Conclusion : ∪ n≥0

Acn = ( ∩ n≥0

An) c.

(c) Par passage au complémentaire dans le résultat précécent : ( ∪ n≥0

Acn) c = ∩

n≥0 An.

(3) On rappelle que ”A1, . . . , An partition de R” signifie que les ensembles Ai sont 2 à 2 disjoints et que A1 ∪ · · · ∪An = R. (i) R = A1 ∪ · · · ∪An ∈ A (ii) Soit ∪

i∈I Ai ∈ A, ( ∪

i∈I Ai)

c = ∪ i/∈I

Ai ∈ A. (iii) Si on fait une réunion dénombrable d’éléments de A :

∪ n≥0

( ∪ i∈In

Ai) = ⋃

»

i∈ ∪ n≥0

In

Ai ∈ A .

(4) Fait en cours

(5) (a) Remarque : δx s’appelle la mesure de Dirac en x. (i) δx est bien une fonction de A dans [0,+∞] (ii) δx(∅) = 0 car x /∈ ∅ (iii) Si on a des éléments 2 à 2 disjoints de A : A0, A1, . . . .

δx( ∪ n≥0

An)

{

= 1 si x ∈ ∪ n≥0

An

= 0 sinon {

= 1 si ∃n tel que x ∈ An = 0 sinon

= ∑

n≥0 δx(An)

car les An sont 2 à 2 disjoints (et donc au plus un seul d’entre eux contient x, c’est à dire au plus un seul d’entre eux est tel que δx(An) = 1).

(b) On remarque que ∀i, δxi est une mesure par la question précédente. (i) µ est bien une fonction de A dans [0,+∞] (ii) µ(∅) = ∑1≤i≤k piδxi(∅) = 0 (iii) Si on a des éléments 2 à 2 disjoints de A : A0, A1, . . . :

µ( ∪ n≥0

An) = ∑

1≤i≤k piδxi( ∪

n≥0 An)

= ∑

1≤i≤k pi

n≥0 δxi(An)

= ∑

n≥0

1≤i≤k piδxi(An)

= ∑

n≥0 µ(An) .

16 CHAPITRE 2. THÉORIE DE LA MESURE

(6) Les ensembles [n, n + 12n [ sont 2 à 2 disjoints donc λ(A) = ∑

n≥0 λ([n, n + 1 2n [) =

n≥0 1 2n = 2 (somme de série géométrique).

(7) (a) ∀ε > 0, {x} ⊂ [x, x+ ε] donc λ({x}) ≤ λ([x, x + ε]) = ε. Donc λ({x}) = 0. (b) λ(∪n≥0{xn}) ≤

n≥0 λ({xn}) = 0 par la question précédente. (c) Q est dénombrable donc on peut écrire Q = {x0, x1, . . . , xn, . . .} donc λ(Q) = 0

par la question précédente. Nous avons λ([0; 1]) < ∞ donc, par la prop. 2.2.6, λ([0; 1]\Q) = λ([0; 1])− λ(Q) = 1.

(8) (a) On remarque que

An = {[x, x+ 10−n[: x = 0, u1 . . . un avec u1, . . . , un ∈ {1, 5}} =

x∈Bn [x, x+ 10−(n+1)[

où Bn = {x = 0, u1 . . . un avec u1, . . . , un ∈ {1, 5}}. On remarque que Bn est fini et que les intervalles ([x, x + 10−n[)x∈Bn sont 2 à 2 disjoints. Donc :

λ(An) = ∑

x∈Bn λ([x, x + 10−n[)

= Card(Bn)× 10−n = 2n × 10−n .

(b) ∀n, An ⊂ An+1 donc par intersection décroissante : λ(B) = limn→+∞ λ(An) = 0. (9) (a) µ([0, 1]) =

R 1[0,1](x)1[0,1](x)dx =

∫ 1

0 1dx = 1

µ([0, 2]) = ∫

R 1[0,2](x)1[0,1](x)dx =

∫ 1

0 1dx = 1

µ([0, 1/2]) = ∫

R 1[0,1/2](x)1[0,1](x)dx =

∫ 1/2

0 1dx = 1/2 µ({1/2}) =

R 1{1/2}(x)1[0,1](x)dx =

R 1{1/2}(x)dx = 0 car λ({1/2}) = 0

(b) µ(R) = ∫

R 1x>0e

−xdx = 1 µ({1}) =

R 1{1}(x)1x>0e

−xdx = ∫

R 1{1}(x)e

−1dx = 0 car λ({1}) = 0 µ([0, 1]) =

R 1[0,1](x)1x>0e

−xdx = ∫ 1

0 e −xdx = 1− e−1

µ([1,+∞[) = ∫

R 1[1,+∞](x)1x>0e

−xdx = ∫ +∞ 1

e−xdx = e−1

(c) µ([0, 1]) = ∫

R 1[0,1](x)1x>0(x)xe

−x2/2dx = ∫ 1

0 xe −x2/2dx =

[

−e−x2/2 ]1

0 = (1 −

e−1/2)

(10) On utilise à chaque fois la propriété de croissance de l’intégrale (prop. 2.4.6).

(a) Pour tout x, 0 ≤ | cos(x)| ≤ 1 donc 0 ≤ 1e1 ∫ e1

0 (cos(x))2dx ≤ 1e1

∫ e1

0 1dx = 1.

(b) Pour tout x ∈ [0, 2], 0 ≤ e−x 2/2

√ 2π

≤ e0√ 2π

= 1√ 2π

donc 0 ≤ ∫ 2

0 e−x

2/2 √ 2π

dx ≤ 2√ 2π

.

(c) Pour tout u ≥ 0, 0 ≤ log(1 + u) ≤ u. Si u ∈ [π/3;π/2] alors 0 ≤ log(1 + u) ≤ u ≤ π/2 et sin est croissante positive sur [0;π/2]. Donc 0 ≤

∫ π/2

π/3 sin(log(1 + u))du ≤

∫ π/2

π/3 sin(u)du = [− cos(u)]π/2π/3 = 12 .

Chapitre 3

Ensembles négligeables

Définition 3.0.1. Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré. Un élément A de A est dit négligeable (pour la mesure µ) si µ(A) = 0.

Soit f : Ω → R une fonction mesurable. Elle est dite µ-presque partout nulle si ∃A ∈ A négligeable tel que x ∈ Ac ⇒ f(x) = 0. On dira aussi que f est : presque partout nulle, µ-presque sûrement nulle, presque sûrement nulle, p.p. nulle, p.s. nulle. Soit A ∈ A tel que µ(Ac) = 0. On dire que l’on est dans A pour p.t. (presque tout) x de Ω, µ-p.s. (presque sûrement) en x ∈ Ω, . . .

Remarque 3.0.2. Une fonction positive d’intégrale finie est finie p.p. Si f est une fonction mesurable positive Ω → R+ telle que ∃A ∈ A, µ(A) > 0 et f(x) = +∞ si x ∈ A, alors

Ω f(x)µ(dx) = +∞. En effet, la fonction φ(x) = +∞ × 1A(x) est une fonction étagée vérifiant φ ≤ f ,

Ω φ(x)µ(dx) = +∞. D’où

Ω f(x)µ(dx) = +∞ par la

définition ci-dessus. Nous avons donc que si

Ω f(x)µ(dx) < +∞ alors il n’existe pas d’ensemble A ayant les

propriétés ci-dessus, ce qui veut donc dire que f est finie presque partout.

Théorème 3.0.3. Espace complet. Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré. Il existe une tribu B sur Ω et une mesure ν sur B telles que

– A ⊂ B – si A ∈ A alors µ(A) = ν(A) – ∀N ⊂ Ω tel que N ⊂ A avec A ∈ A, µ(A) = 0, on a N ∈ B et ν(N) = 0.

La tribu B est alors appelée tribu complétée de A et ν est appelée mesure complétée de µ. Un espace mesuré (Ω,A, µ) pour lequel

[N ⊂ A avec A ∈ A, µ(A) = 0] ⇒ [N ∈ A]

est appelé un espace mesuré complet.

Théorème 3.0.4. Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré et f fonction mesurable sur cet espace. Alors f est p.p. nulle ⇒

Ω f(x)µ(dx) = 0. Et la réciproque est vraie pour f ≥ 0.

Démonstration. – Si f est p.p. nulle alors ∃A ∈ A tel que µ(A) = 0 et f est nulle sur Ac. Soit φ ∈ E(f) et B1, . . . , Bp partition associée à φ. On note B′i = Bi ∩ A et B′′i = Bi∩Ac, ∀i ∈ {1, . . . , p}. Les ensembles B′1, . . . , B′p, B′′1 , . . . , B′′p sont deux à deux disjoints et φ est constante sur chacun d’entre eux. Pour x ∈ B′i, on note φ(x) = ci. Pour tout x dans B′′1 , . . . , B

′′ p , f(x) = 0. Pour tout i ∈ {1, . . . p}, µ(B′i) ≤ µ(A) (par

proposition 2.2.6) donc µ(B′i) = 0. Donc

φ(x)µ(dx) = 0× µ(B′′1 ) + · · ·+ 0× µ(B′′p ) + c1 × µ(B′1) + · · ·+ cp × µ(B′p) = 0 .

Cela est vrai pout toute φ ∈ E(f) donc ∫

Ω f(x)µ(dx) = 0. – Soit maintenant f ≥ 0. Si

Ω f(x)µ(dx) = 0. Soit ε > 0, soit Aε = {x ∈ Ω : f(x) ≥

ε} = f−1([ε,+∞[). L’ensemble [ε,+∞[ appartien à B(R) car c’est un intervalle. La

17

18 CHAPITRE 3. ENSEMBLES NÉGLIGEABLES

fonction f est mesurable donc Aε ∈ A. Soit φ étagée telle que

φ(x)

{

= 0 si x ∈ Acε = ε si x ∈ Aε .

L’ensemble Acε appartient à A. Pour tout x, φ(x) ≤ f(x) donc

0 ≤ ∫

φ(x)µ(dx) ≤ ∫

f(x)µ(dx)

donc ∫

Ω φ(x)µ(dx) = 0. Par ailleurs,

φ(x)µ(dx) = 0× µ(Acε) + ε× µ(Aε)

donc µ(Aε) = 0. Les ensembles A1/n pour n ∈ N∗ vérifient A1/n ⊂ A1/n+1. Donc par la proposition sur la réunion croissante (proposition 2.2.8), µ({x ∈ Ω : f(x) > 0}) = µ(∪n≥1A1/n) = limn≥+∞ µ(A1/n) = 0. Donc f est nulle p.p.

Proposition 3.0.5. Intégrale sur un ensemble négligeable. Soit (Ω,A, µ) un espace mesuré. Soit A ∈ A négligeable. Soit f, g : Ω → R mesurables. On suppose que

Ω f(x)µ(dx) est définie (ce qui a lieu, par définition, quand f + et f− sont

d’intégrales finies) ainsi que ∫

Ω g(x)µ(dx). On suppose que f(x) = g(x) si x /∈ A (donc f et g sont preque partout égale). Alors

A

f(x)µ(dx) = 0 ,

f(x)µ(dx) =

g(x)µ(dx) .

Démonstration. – Par définition,

A

f(x)µ(dx) =

f(x)1A(x)µ(dx) .

Donc par le théorème précédent, ∫

A f(x)µ(dx) = 0.

– Par linéarité, ∫

Ω f(x)µ(dx)− ∫

Ω g(x)µ(dx) = ∫

Ω(f(x)− g(x))µ(dx). La fonction f − g est nulle presque partout donc, par le théorème précédent

Ω (f(x)− g(x))µ(dx) = 0.

On retient de la proposition précédente que deux fonctions égales presque partout ont la même intégrale.

Exemple 3.0.6. Soient les fonction suivantes définies sur [0;π],

f(x) = sin(x) ,

g(x) =

{

sin(x) si x 6= π/2 0 si x = π/2 .

19

/20

1

Fig. 3.1 – Dessin de f .

Les fonctions f et g sont égales p.p. Nous avons donc

∫ π

0

g(x)dx =

∫ π

0

f(x)dx

= [− cos(x)]π0 = 1− (−1) = 2 .

20 CHAPITRE 3. ENSEMBLES NÉGLIGEABLES

Chapitre 4

Théorèmes limites

On se donne (Ω,A, µ) un espace mesuré complet. On supposera à partir de maintenant, pour des raisons techniques, que Ω est réunion dénombrable d’éléments de A de mesure finie. On dit alors que Ω est σ-fini.

4.1 Stabilité de la mesurabilité par passage à la limite.

Théorème 4.1.1. Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions Ω → R une suite de fonctions me- surables positives. Alors supn fn et infn fn sont des fonctions mesurables.

Démonstration partielle. On pose f(x) = supn fn(x). Nous allons montrer que ∀a ∈ R, f−1(] −∞, a]) ∈ A. Cela est en fait suffisant pour montrer que f est mesurable mais nous ne démontrerons pas ce point.

Fixons donc a ∈ R et prenons A = f−1(]−∞, a]). On remarque que A = {x ∈ Ω : f(x) ≤ a}

= {x ∈ Ω : fn(x) ≤ a, ∀n} = ∩n≥0{x ∈ Ω : fn(x) ≤ a} .

Pour tout n, {x ∈ Ω : fn(x) ≤ a} = f−1n (] −∞; a]) ∈ A car fn est mesurable. La famille A est une tribu, elle est donc stable par intersection dénombrable donc f−1(A) ∈ A. Définition 4.1.2. Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions Ω → R. On dit que (fn) convergence presque sûrement vers f (et on note fn

p.s.−→ n→+∞

f) s’il existe A négligeable tel que [x /∈ A] ⇒ [fn(x) −→

n→+∞ f(x)].

Définition 4.1.3. Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions Ω → R. On dit que (fn) convergence simplement vers f si ∀x, fn(x) −→

n→+∞ f(x).

Exemple 4.1.4. Prenons Ω = [0; 1] et fn(x) = x 1/n (n ≥ 1). Pour x 6= 0, nous avons

fn(x) = exp(log(x)/n). La suite log(x)/n −→ n→+∞

0 et la fonction exp est continue donc

fn(x) −→ n→+∞

0. Si x = 0, fn(x) = 0 −→ n→+∞

0. Donc la suite de fonctions (fn)n≥1 converge

simplement vers la fonction g définie sur [0; 1] par

g(x) =

{

1 si x 6= 0 0 si x = 0 .

Remarque 4.1.5. La convergence simple implique la convergence presque sûre.

Corollaire 4.1.6. Si on a une suite (fn) de fonctions Ω → [0,+∞[ mesurables (positives) telle que fn

p.s.−→ n→+∞

f alors f est mesurable.

Démonstration. On ne va faire la démonstration que dans le cas où (fn) converge simplement vers f . Pour tout x et pour tout n, on pose vn(x) = sup{fn(x), fn+1(x), fn+2(x), . . .}. Par le théorème précédent, les fonctions vn sont mesurables. Pour tout x, f(x) = inf{v0(x), v1(x), v2(x), . . .}. Donc par le théorème précédent, f est mesurable.

21

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