Notes sur l'intégration par changement de variables, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur l'intégration par changement de variables, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur l'intégration par changement de variables. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: calcul de l'intégrale, la matrice jacobienne, l'intégration par parties, la démonstration.
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Intégration par changement de variables.

Lorsque nous ne pouvons facilement déterminer la primitive d'une fonction donnée, nous pouvons nous débrouiller par un changement de variable astucieux (parfois même très subtile) à contourner la difficulté. Cela ne marche pas à tous les coups (car certaines fonctions ne sont pas intégrables formellement) mais il vaut la peine d'essayer avant d'avoir recours à l'ordinateur.

A nouveau, nous ne donnons que la forme générale de la méthode. C'est le rôle des professeurs dans les écoles d'entraîner les élèves à comprendre et maîtriser ce genre de techniques. De plus, les chapitres traitant des sciences exactes sur le site (physique, informatique, astrophysique, chimie, ...) regorgent d'exemples utilisant cette technique et servent ainsi implicitement d'exercices de style.

Soit à calculer l'intégrale (non bornée pour l'instant) :

(10.189) bien que nous ne sachions pas calculer directement la primitive de cette fonction f(x) (en tout cas nous imaginons être dans une telle situation) nous savons (d'une manière ou d'une autre) qu'elle existe (nous ne traitons pas encore des intégrales impropres à ce niveau).

La technique consiste alors dans cette intégrale à effectuer le changement de variable :

(10.190)

où est une fonction continue ainsi que sa dérivée, et admettant une fonction inverse.

Alors , démontrons que dans ce cas l'égalité :

(10.191)

est satisfaite.

Nous sous-entendons ici que la variable t sera remplacée après intégration du membre droit par son expression en fonction de x. Pour justifier l'égalité en ce sens, il suffit de montrer que les deux quantités considérées dont chacune n'est définie qu'à une constant arbitraire près ont la même dérivée par rapport à x. La dérivée du membre gauche est :

(10.192) Nous dérivons le membre droit par rapport à x en tenant compte quet est une fonction de x. Nous savons que :

(10.193)

Nous avons par conséquent :

(10.194) Les dérivées par rapport à x des deux membres de l'égalité de départ sont donc égales.

C.Q.F.D.

Bien évidemment, la fonction doit être choisie de manière à ce que nous sachions calculer l'intégrale indéfinie figurant à droite de l'égalité.

Remarque: Il est parfois préférable de choisir le changement de variable sous la forme au lieu de car cela à une large tendance à simplifier la longueur de l'équation au lieu de l'allonger.

jacobien Considérons un domaine D du plan u,v limité par une courbe L. Supposons que les coordonnées x,y soient des fonctions des nouvelles variables u,v (toujours dans le cadre d'un changement de variables donc) par les relations de transformations :

(10.195)

où les fonctions et sont univoques, continues et possèdent des dérivées continues dans un certain domaine D' que nous définirons par la suite. Il correspond alors d'après les relations précédentes à tout couple de valeurs u,v un seul couple de valeur x,y et réciproquement. Il résulte de ce qui précède qu'à tout point du plan Oxy correspond univoquement un point P'(u,v) du plan Ouv de coordonnées u,v définies par les relations précédentes. Les nombres v et u seront appelées "coordonnées curvilignes" de P et nous verrons des exemples concrets et schématisé de ceux-ci dans le chapitre de Calcul Vectoriel. Si dans le plan Oxy le point P décrit la courbe fermée L délimitant le domaine D, le point correspondant décrit dans le plan Ouv un certain domaine D'. Il correspond alors à tout point de D' un point de D. Ainsi, les relations de transformations établissent une correspondance biunivoque entre les points des domaines D et D'. Considérons maintenant dans D' une droite . En général, les relations de transformation lui font correspondre dans le plan Oxy une ligne courbe (ou inversement). Ainsi, découpons le domaine D' par des droites et en de petits domaines rectangulaires (nous ne prendrons pas en compte dans la limite, les rectangles empiétant sur la frontière de D'). Les courbes correspondantes du domaine D découpent alors ce dernier en quadrilatère (définis par des courbes donc). Evidemment, l'inverse est applicable. Considérons dans le plan Ouv le rectangle limité par les droites :

(10.196)

et le quadrilatère curviligne correspondant dans le plan Oxy. Nous désignerons les aires de ces domaines partiels également par et . Nous avons évidemment :

(10.197)

Les aires et peuvent êtres en générales différentes.

Supposons donc dans D une fonction continue . Il correspond à toute valeur de cette fonction du domaine D la même valeur (ce qu'il faut vérifier) dans D', où :

(10.198)

Considérons les sommes intégrales de la fonction dans le domaine D. Nous avons évidemment l'égalité suivante :

(10.199)

Calculons , c'est-à-dire l'aire du quadrilatère curviligne dans le plan Oxy :

Déterminons les coordonnes de ses sommets :

(10.200)

Nous assimilerons dans le calcul de l'aire du quadrilatère les

arcs à des segments de droites parallèles. Nous remplacerons en outre les accroissements des fonctions par leurs différentielles. C'est dire que nous faisons abstraction des infiniment petits d'ordre plus élevé que et . Les relations précédentes deviennent alors :

(10.201)

Sous ces hypothèses, le quadrilatère curviligne peut être assimilé à un parallélogramme.

Son aire est approximativement égale au double de l'aire du triangle , aire que nous pouvons calculer en utilisant les propriétés du déterminant (comme nous le démontrerons dans le chapitre d'Algèbre Linéaire, le déterminant dans représente un parallélogramme alors que dans celui-ci représente le volume d'un parallélépipède) :

(10.202)

Tel que (c'est là qu'il faut faire le meilleur choix pour que l'expression finale soit la plus simple et la plus esthétique, nous procédons par essais successifs et faisons enfin le choix ci-dessous) :

(10.203)

Ainsi, nous avons :

(10.204)

Par conséquent :

(10.205)

Avec :

(10.206) qui est la "matrice jacobienne" (alors que son déterminant est appelé le "jacobien" (tout court)) de

la transformation de coordonnées de . En appliquant exactement le même raisonnement pour , la matrice jacobienne s'écrit alors (en changeant un peu les notations car sinon cela devient illisible):

(10.207)

Bref, à quoi cela sert-il concrètement ? Eh bien revenons à notre relation :

(10.208)

qui n'est finalement qu'approximative étant donné que dans les calculs de l'aire nous avons négligé les infiniment petits d'ordre supérieur. Toutefois, plus les dimensions des domaines élémentaires et sont petites, et plus nous nous approchons de l'égalité. L'égalité ayant finalement lieu quand nous passons à la limite (finalement en maths aussi on fait des approximations... hein !), les surfaces des domaines élémentaires tendant vers zéro :

(10.209)

Appliquons maintenant l'égalité obtenue au calcul de l'intégral double (nous pouvons faire de même avec la triple bien sûr). Nous pouvons donc finalement écrire (c'est la seule manière de poser la chose qui a un sens) :

(10.210)

Passant à la limite, nous obtenons l'égalité rigoureuse :

(10.211) Telle est la relation de transformation des coordonnées dans une intégrale double. Elle permet de ramener le calcul d'une intégrale double dans le domaine D au domaine D', ce qui peut simplifier le problème.

De même, pour une intégrale triple, nous écrirons :

(10.212)

Déterminons maintenant le Jacobien pour les systèmes de coordonnées les plus courants (nous renvoyons à nouveau le lecteur au chapitre de calcul vectoriel pour plus d'information concernant ces systèmes) :

1. Coordonnes polaires :

(10.213) Comme r est toujours positif, nous écrivons simplement :

(10.214)

2. Coordonnées cylindriques (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire pour le calcul du déterminant) :

(10.215)

Comme r est toujours positif, nous écrivons simplement :

(10.216)

3. En coordonnées sphériques (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire pour le calcul du déterminant) :

(10.217)

Comme est toujours positif, nous écrivons simplement :

avec (10.218) INTéGRATION PAR PARTIES Lorsque nous cherchons à effectuer des intégrations, il est très fréquent que nous ayons à utiliser un outil (ou méthode de calcul) appelé "intégration par parties". Voici la démonstration de la validité de ce dernier. Soit f,g deux applications de classe (dérivables n fois) de [a,b] dans , alors (voir la version plus light dans la démo...) :

(10.219) Démonstration: Procédons par récurrence sur n. Nous supposons la formule vraie pour n et nous la démontrons pour n+1 :

(10.220) Pour n=1 nous retrouvons la formule bien connue et qui sera très très souvent utilisée sur tout le site:

(10.221)  

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