Notes sur l'introduction aux mathématiques financières - 1° partie, Notes de Mathématiques financières. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
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Notes sur l'introduction aux mathématiques financières - 1° partie, Notes de Mathématiques financières. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématiques financières sur l'introduction aux mathématiques financières - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les rappels, les exemples, les équuations, le diagramme.
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ACT2025 - Cours 13

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Treizième cours

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ACT2025 - Cours 13

• Détermination de la valeur actuelle d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt

Rappel:

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ACT2025 - Cours 13

• Détermination de la valeur actuelle d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt

• Détermination de la valeur accumulée d’une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que la période de capitalisation de l’intérêt

Rappel:

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ACT2025 - Cours 13

Considérons une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de l’intérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de l’intérêt dans une période de paiement. Le terme de l’annuité sera de n périodes de capitalisation. Les paiements sont de 1$ à la fin de chaque période de paiement. Il y a (n/k) paiements.

Rappel:

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Le diagramme d’entrées et sorties est:

Rappel:

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La valeur actuelle L est

Rappel:

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Le diagramme d’entrées et sorties est:

Rappel:

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La valeur accumulée X est

Rappel:

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ACT2025 - Cours 13

Considérons une annuité pour laquelle la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de l’intérêt, à savoir il y a k périodes de capitalisation de l’intérêt dans une période de paiement. Le terme de l’annuité sera de n périodes de capitalisation. Les paiements sont de 1$ au début de chaque période de paiement. Il y a (n/k) paiements.

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Notons par

la valeur actuelle de cette annuité. Nous avons le diagramme suivant:

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Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle est

Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités.

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Notons par

la valeur accumulée de cette annuité à la fin de la dernière période de paiement. Nous avons le diagramme suivant:

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Algébriquement nous obtenons que cette valeur accumulée est

Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités.

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Anastasia a gagné 125 000$ à la loterie. Elle utilise ce capital pour l’achat d’une rente consistant en 20 versements de R dollars à tous les six mois suivi de 20 versements de 2R dollars, le premier paiement fait immédiatement en recevant son lot. Elle recevra ainsi 40 versements dans sa rente. Le taux d’intérêt est le taux nominal i(4) = 8% capitalisé trimestriellement. Déterminer R.

Exemple 1:

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Le taux d’intérêt par trimestre est (i(4)/4) = 8%/4 = 2%. Nous avons deux annuités: les 20 premiers paiements au montant de R dollars et les 20 derniers au montant de 2R dollars. Cette dernière est une annuité différée. Nous allons calculer la valeur actuelle de chacune à t = 0 (c’est-à-dire au moment de recevoir le lot de 125 000$)

Exemple 1: (suite)

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Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:

Exemple 1: (suite)

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L’équation de valeur à t = 0 est:

Nous obtenons que R = 4655.26$ .

Exemple 1: (suite)

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Si nous avions plutôt utilisé la première approche, nous procèderions de la façon suivante. Nous calculons que le taux nominal i(2) d’intérêt par année capitalisé semestriellement équivalent à i(4) = 8%. Ce taux est i(2) = 8.079999992% par année, c’est-à-dire (8.079999992%/2) = 4.039999996% par six mois.

Exemple 1: (suite)

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L’équation de valeur à t = 0 est alors:

Nous obtenons aussi que R = 4655.26$

Exemple 1: (suite)

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