Notes sur l'oscillateur harmonique - 2° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur l'oscillateur harmonique - 2° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur l'oscillateur harmonique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation, l'effet tunnel.
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Toutes les fonctions (sauf déjà fixée) ont un facteur de phase arbitraire (notion que

nous avons vu lors de la définition des états liés et non liés), indépendamment les unes des

autres, l'argument de reste donc à notre disposition et nous choisirons réel positif. Cela

fixe toutes les :

(42.425)

En itérant cette relation sur la fonction d'onde nous obtenons aisément (algèbre élémentaire):

(42.426)

soit en tenant compte des relations suivantes (que nous avons déjà démontrées

précédemment):

et (42.427)

Nous avons :

(42.428)

Cette équation prend une forme plus simple, en s'appuyant sur la relation:

(42.429)

Vérification:

(42.430)

soit, en langage d'opérateurs:

(42.431)

Ainsi:

(42.432)

Nous obtenons ainsi l'expression de :

(42.433)

Par ailleurs, dans la théorie mathématique des familles de polynômes orthogonaux, nous

rencontrons les "polynômes d'Hermite" définis par:

(42.434)

Ce sont des polynômes de degrés n, pair ou impairs ( ). En les

employant, nous allégeons la relation précédente qui devient:

(42.435)

Ces polynômes constituent donc une base orthonormée de l'état quantique global et

apparaîssent donc naturellement dans l'expression générale des fonctions/états propres.

Finalement nous avons :

n

0

1

2

3

Tableau: 42.1- Fonctions et énergies propres de l'oscillateur harmonique pour n=1..3

Avec la non moins fameuse représentation graphique avec à gauche les fonctions propres

associées et à droite la probabilité de présence :

(42.436)

En analysant ces fonctions d'ondes, nous retrouvons de nombreux résultats classiques : la

particule dans le puits de potentiel a une probabilité de présence plus élargie si elle a une

énergie plus haute (une bille au fond d'un puits va monter plus haut sur les bords si elle a plus

d'énergie), la particule a plus de chance se retrouver sur ces positions éloignées du centre du

puits (la bille a une vitesse d'autant plus petite qu'elle est haut dans le puits : elle va donc

passer beaucoup plus de temps en hauteur qu'au fond du puits).

Pour tous les calculs où des particules sont dans un puits de potentiel, l'approximation

harmonique est très intéressante. Par exemple, si nous souhaitons étudier un "piège

harmonique" à deux dimensions, soit condensat de Bose-Einstein 2D (cf. chapitre de Mécanique

Statistique) nous pourrons poser pour l'hamiltonien suivant pour débuter l'étude (en analogie

avec celui à une dimension utilisé plus haut) :

(42.437)

EFFET TUNNEL

L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière de

potentiel, franchissement impossible selon la mécanique classique. Généralement, la fonction

d'onde d'une particule, dont le carré du module représente l'amplitude de sa probabilité de

présence, ne s'annule pas au niveau de la barrière, mais s'atténue à l'intérieur de la barrière,

pratiquement exponentiellement pour une barrière assez large comme nous le démontrerons.

Si, à la sortie de la barrière de potentiel, la particule possède une probabilité de présence non

nulle, elle peut donc traverser cette barrière.

L'étude théorique de ce phénomène est d'une importance cruciale dans la théorie des

semiconducteurs et de la désintégration en physique nucléaire. Il convient donc d'y accorder

une attention bien particulière!

La barrière quantique de largeur L sépare dans les cas simples l'espace en trois, dont les parties

gauche et droite sont considérées comme ayant des potentiels constants jusqu'à l'infini. La

partie intermédiaire constitue la barrière, qui peut être compliquée, révélant un profil doux, ou

au contraire formé de barrières rectangulaires, ou autres éventuellement en séries.

Etudions maintenant le cas de systèmes où l'énergie potentielle (implicitement le potentiel

y relatif) tend vers des limites finies, non forcément égales quand . Il s'agit donc d'un

problème d'états non liés.

D'abord, nous définissons une région I loin à gauche où sera noté :

(42.438)

une région III loin à droite où sera noté :

(42.439)

En se bornant aux situations les plus simples, il y a trois possibilités relativement aux relations

données précédemment : puits de potentiel (a), marche de potentiel (b), barrière de potentiel (c)

comme représentés dans l'ordre énoncé sur la figure ci-dessous:

(42.440)

Maintenant, écrivons l'équation de Schrödinger :

(42.441)

Dans les régions I et III de la barrière de potentiel, l'idée est que est constant et

positif donc l'équation différentielle peut s'écrire en une dimension:

(42.442)

nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique de dans ces régions sous forme

générale :

(42.443)

Nous trouvons ces deux expressions de façon identique lors de notre étude du puits de

potentiel à parois rectangulaires, à la différence que nous avons écrit ci-dessus les solutions

générales de l'équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) sans en

déterminer les coefficients (car nous nous intéressons ici à une généralisation).

Ainsi, dans l'étude du puits à parois rectangulaires plus haut nous avions déjà déterminé que:

et (42.444)

Remarques:

R1. Nous voyons que les nombres d'ondes k sont donc proportionnels à la racine de l'énergie

cinétique. Et comme l'énergie cinétique est proportionnelle à la vitesse au carré des particules il

vient alors que la vitesse est proportionnelle au nombre d'onde (et réciproquement)!

R2. Dans certains ouvrages, pour simplifier les notations, le potentiel dans les régions Iet III et

posé comme référence et donc égalisé à 0. Il disparaît donc des deux expressions précédentes et

cela a pour effet d'égaliser les deux nombres d'ondes qui sont alors notés simplement k.

Dans la région II, l'idée est que est négatif et constant donc l'équation différentielle

peut s'écrire en une dimension:

(42.445)

et comme nous l'avons vu lors de notre étude du puits de potentiel rectangulaire infini selon la

2ème approche, la solution est alors de la forme:

(42.446)

avec:

(42.447)

Remarque: La parenthèse sous la racine de la relation précédente doit donc être positive. Or cela

signifierait que l'énergie cinétique de la particule est négative... Pour palier à ce problème dans le

cadre de ce modèle simplifié, on dit que la particule n'a pas le droit d'exister dans la barrière et

qu'elle empreinte de l'énergie au vide. Mais il y a d'autres modèles plus complexes qui ne

nécessitent pas ce genre de fantaisies.

Nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique de dans les trois régions sous

forme générale :

(42.448)

Supposons maintenant que nous ayons à (région I), une source de particules (qui les envoie

vers la droite), avec une énergie cinétique valant évidemment .

Ainsi, ces particules ont une énergie et la fonction d'onde qui les décrit obéit à l'équation

de Schrödinger. Dans la région III, il sera supposé qu'il ne peut exister que des particules allant

vers la droite (pas de source à , par hypothèse).

La région III, comme du reste la région I, est d'étendue infinie, donc le principe d'incertitude

nous permet de parler en théorie d'une quantité de mouvement parfaitement déterminée que

nous noterons p'.

Nous savons que (c'est de la mécanique classique!) dans la région III nous avons alors :

(42.449)

Si alors p' est positif, donc grâce à la relation précédente et à la relation de De

Broglie nous avons :

(42.450)

Soit:

(42.451)

Les nombres d'onde étant maintenant connus formellement revenons à l'interprétation de la

solution III :

(42.452)

L'hypothèse comme quoi les particules viennent de la gauche nous impose pour que la

solution décrive uniquement des particules qui vont vers la droite. Ensuite, il est loisible, pour

celles venant de la gauche, de prendre . La région III est donc relativement simple

d'analyse...

Remarque: Les conditions et hypothèses utilisées précédemment sont souvent appelées

"conditions de scattering".

Les constantes A et B de la région I vont être elles complètement déterminées en effectuant le

raccord des solutions d'une région à l'autre.

Intéressons-nous donc maintenant à l'interprétation de l'équation dans la région I:

(42.453)

Il est évident que décrit des particules qui, dans la région I, se dirigent vers la droite

alors décrit des particules qui, dans cette même région, se dirigent vers la gauche.

Comme nous le savons, les premières sont les particules incidentes, les secondes sont les

particules réfléchies.

Ce que nous demandons à la physique quantique apparaît maintenant d'une façon claire: une

particule arrivant de la gauche (incidente) peut soit :

1. Continuer vers la droite, c'est-à-dire franchir la région II et devenir une particule transmise

2. Retourner vers la gauche et devenir une particule réfléchie.

Nous sommes amenés à définir un "coefficient de transmission" T assimilé à la probabilité qu'à

la particule incidente de franchir la région II et un "coefficient de réflexion" R, probabilité qu'à la

particule incidente d'être réfléchie. Nous devons avoir:

(42.454)

Dans le cas d'une barrière de potentiel, T est également appelé la "transparence de la barrière".

Pour calculer R et T, nous définirons les flux courants des diverses catégories de particules

(incidentes, transmises, réfléchies).

Par exemple, puisque les particules incidentes sont décrites par , le nombre moyen de ces

particules, par unité de longueur dans la région I, doit certainement être proportionnel à un

facteur près à .

Soit leur vitesse, nous voyons que le courant des particules incidentes , est alors

proportionnel à un facteur près à (analyse dimensionnelle). Ainsi, le coefficient de

proportionnalité étant de même nature pour les trois catégories de particules (incidentes i,

réfléchies j, transmises t) et du fait que et sont proportionnels à et , il s'ensuit

que (courants incidents et réfléchi) et (courant transmis) sont respectivement

proportionnels (donc toujours à un facteur dimensionnel près!) à , et (puisque

rappelons que pour la région III nous avons trouvé A'=1 et B'=0).

Nous déduisons de là très simplement, par un simple rapport, les expressions des coefficients

de réflexion R et de transmission T :

(42.455)

et comme dans notre cas particulier et comme il vient:

(42.456)

Une autre façon d'écrire les choses est dire que puisque l'onde incidente se résume à:

(42.457)

et l'onde transmise à :

(42.458)

alors:

(42.459)

Dans toutes ces situations, la théorie quantique conduit, en général, à des valeurs

de R et T petites, mais pas nulles !

Exemples:

Déterminons l'expression explicite de la transparence pour notre exemple de barrière

rectangulaire.

Pour cela, nous savons que nous devons imposer la continuité de en et , ainsi

que la continuité de en et .

Donc rappelons d'abord que nous avons les trois relations (en mettant la référence du potentiel

à 0):

(42.460)

avec donc:

et (42.461)

Nous avons alors pour la continuité de en et :

(42.462)

ainsi que la continuité de en et :

(42.463)

Puisque B' est nul nous avons un système de 4 équations à 5 inconnues:

(42.464)

Nous allons choisir d'exprimer toutes les constantes à partir de A. Pour cela nous écrivons nous

multiplions la première ligne par ik et la sommons à la deuxième ligne. Nous avons alors:

(42.465)

et ensuite nous multiplions la troisième ligne par -ik et la sommons à la quatrième ligne. Nous

avons alors:

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