Notes sur la cohérence et l'interférence, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 janvier 2014

Notes sur la cohérence et l'interférence, Notes de Principes fondamentaux de physique

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Notes de physique surla cohérence et l'interférence. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le calcul, la démonstration.
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Nous allons maintenant voir quelles sont les conditions nécessaires à ce que des ondes planes

interférent entre elles. Ces développements permettent de comprendre bien des choses sur la

vision du monde qui nous entoure via notre oeil (surtout pourquoi l'ensemble des ondes reçues

par nos rétines ne se mélangent pas et donc les couleurs non plus!).

Considérons deux ondes planes et de pulsations et , de vecteurs

d'onde et se propageant toutes deux parallèlement à l'axe .

Nous notons On note et les amplitudes complexes des deux ondes et nous nous

s'intéressons à l'intensité moyenne observée en un point O pris comme origine des

coordonnées:

(40.143)

Nous posons:

(40.144)

et nous supposerons:

(40.145)

Au point O les amplitudes complexes s'écrivent

(40.146)

où et représentent les phases de et .

Calculons maintenant l'intensité instantanée au point O qui sera notée J(t). Comme l'intensité

moyenne I est proportionnelle au carré de l'amplitude, nous supposerons qu'il en sera de même

pour l'intensité instantanée. Ce qui nous amène à calculer la somme des parties réelles des

amplitudes des deux ondes:

(40.147)

Ce qui s'écrit en se rappelant que (cf. chapitre sur les Nombres):

(40.148)

Soit:

(40.149)

Et nous avons alors:

(40.150)

Il vient la somme de quatre termes:

(40.151)

Pour calculer l'intensité moyenne, nous allons choisir une approche expérimentale. L'intensité

moyenne sur le temps de pose du détecteur (électronique ou biologique) sera donc donnée

par:

(40.152)

I est donc la somme des moyennes des quatre termes intervenant dans J(t). En lumière visible

(cas de notre oeil), les fréquences sont de l'ordre de et les temps de pose des

détecteurs varient entre la milliseconde et la seconde. contient alors

typiquement périodes de et !!

Examinons l'effet de la valeur moyenne sur chacun des termes de J(t):

1. Nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(40.153)

Nous pouvons estimer que sur un grand nombre de périodes (temps d'ouverture du détecteur),

c'est cette moyenne qui sera mesurée (en l'occurrence c'est celle-ci!).

2. Nous avons de même:

(40.154)

avec la même remarque que précédemment en ce qui concerne le détecteur!

3. Pour le troisième terme c'est un peu différent:

(40.15

5)

Or, la moyenne d'un cosinus et d'un sinus sur une période est nulle. Donc si le détecteur fait

une mesure sur un temps d'exposition supérieur à , soit sur un grand nombre de

périodes, nous aurons:

(40.156)

4. Pour le quatrième terme c'est encore différent dans l'approximation expérimentale.

Effectivement:

(40.15

7)

Or, . Donc le détecteur n'a pas le temps de mesurer l'intensité moyenne sur une

période entière en première approximation puisque:

(40.158)

et que cette valeur est beaucoup beaucoup plus grande dans le spectre du visible que le temps

d'ouverture/échantillonnage de l'oeil qui est lui de 0.1 [s].

Ainsi, nous noterons la moyenne de quatrième terme par:

(40.159)

L'intensité moyenne vaut donc dans un cadre expérimental:

(40.160)

ou:

(40.161)

Si les pulsations sont égales (ou pratiquement égales), c'est alors l'interférence entre

deux ondes planes monochromatiques. L'intensité moyenne s'écrit alors:

(40.162)

L'intensité mutuelle est non nulle et nous disons alors qu'il y a cohérence. Dans le cas contraire,

si les deux pulsations sont très différentes, la moyenne est nulle et nous avons alors:

(40.163)

Le terme d'interférences a disparu, l'intensité moyenne est la somme des intensités moyennes

des deux ondes. Nous disons dans ce cas que les deux ondes sont incohérentes entre elles.

Quand nous savons que l'oeil interprète l'intensité pour former les perceptions des objets nous

comprenons pourquoi deux objets de deux couleurs différentes ne forment pas une perception

correspondant à un mélange des deux couleurs car même si dans le spectre du visible, les

pulsations sont presque égales, leur déphasage en un point donné de l'espace est rarement nul

tel que:

(40.164)

Il n'y donc pas interférence et nous avons en réalité:

(40.165)

et ce d'autant plus que le déphasage n'est pas constant dans le temps et que la moyenne de

déphasages fait que le troisième terme s'annule. On ne peut donc pas interférer de manière

simple des ondes planes de sources différentes. Par contre lorsque la source est identique nous

retrouvons ce que font nos écrans avec les trois couleurs primaires RVB.

Lorsque est un multiple de , I est maximale (interférence constructive).

Lorsque est de la forme , I est minimale. Nous avons alors une interférence

destructive.

Remarque: Lors de la composition de plusieurs ondes, nous pouvons toujours considérer qu'il y a

interférence. Toutefois, nous appelons "conditions d'interférences" des conditions d'observation

des ces interférences, in extenso des conditions pour que le résultat de leur composition soit

suffisamment stable pour être observé. Il est d'usage de parler de visibilité ce qui restreint à la

seule observation par l'oeil (humain).

Nous avons vu pour l'oeil que la fréquence temps d'échantillonnage est de . Sachant

que la lumière visible à une fréquence de , la fréquence doit donc être stabilisée

par la source pendant:

(40.166)

ce qui matériellement est impossible sauf à ce que la source soit la même. Nous en déduisons

que pour des interférences soient visibles à l'oeil, les sources doivent être synchrones à mieux

que ce qui en pratique amène à ne considérer que des sources absolument synchronisées

sur une source unique.

Dans le modèle précédent, nous avons par ailleurs négligée qu'une onde réelle est limitée dans

le temps. Un photon est représenté par un paquet d'onde limité. Soit T sa durée, il aura une

longueur dans le vide ou dans l'air que nous appelons "longueur de cohérence

temporelle".

Un rayonnement donné est donc une superposition d'une succession de trains d'ondes dont la

longueur moyenne est , les trains d'ondes successifs n'ont pas de relation de phases entre

eux: ils ne peuvent pas interférer.

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