Notes sur la différentielle - exercices, Notes de Génie Physique. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Kilian_Te
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Notes de sciences physiques sur la différentielle - exercices. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: une différentielle totale et calculer f(x,y), la fonction, les constantes positives.
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Concepts généraux de la thermodynamique

Exemple 1

2 1 ; 2 1 P Q P Q

x x y x y x

         

   

   , =2 ( , ) 2 f

P x y xy y f x y xy y dx x

     

 

Donc df est bien une différentielle totale

Déterminons maintenant cette fonction f(x,y).

   2 32 4df xy y dx x x y dy    

2 32 ; 4P xy y Q x x y    

Montrer que df est une différentielle totale et calculer f(x,y).

f Q

y

  

2 '( ) f

x x g y y

   

 2 34

f x x y

y

   

3 3 4'( ) 4 ( ) 4g y y g y y dy y cte    

2 4( , ) f x y x y xy y cte   

or

d’où :

Soit finalement :

Dérivons cette fonction par rapport à y,

cette dérivée doit être égale à

2( , ) ( ) f x y x y xy g y   

1) Ecrire la différentielle de cette équation.

2) Déterminer respectivement les expressions des

coefficients de dilatation isobare et de compressibilité

isotherme  .

3) Exprimer ces coefficients en fonction des variables V et

T

4) En déduire l’expression du coefficient de variation de

pression isochore  en fonction de V et T.

Exercice 1

Une mole d’un gaz réel obéit à l’équation :

  P

P V b RT a T

  

a, b et R sont des constantes positives.

1) Donner l’expression d’un travail élémentaire des forces de pression échangé par un système thermodynamique. Que devient cette expression dans le cas d’une transformation réversible ?

2) On considère un gaz qui subit un cycle de transformations réversibles représentées dans le diagramme de Clapeyron par

A1 A2 A3A1, la transformation A2A3 est un segment d’une droite.

Exercice 2

A3

A1A2

P3

V

V2V1

P1

P Calculer le travail des forces de pression échangé au cours de chaque transformation et en déduire le travail total du cycle en fonction de V1, V2, P1 et P3.

3) Si le cycle était décrit dans le sens A1 A3 A2 A1, donner le travail total qui serait échangé avec le milieu extérieur. Conclure.

Exercice 3

1) On considère une transformation quasistatique

adiabatique d’un gaz parfait de l’état initial (1) vers

l’état final (2).

Etat initial : P1, V1 , T1 Etat final : P2, V2, T2

Dans une transformation adiabatique, il n’ya pas d’échange

de la chaleur entre le système et le milieu extérieur et

La pression et le volume sont reliées par la relation :

Les variables d’états P, V et T varient toutes au cours de la

transformation.

PV Cte 

Calculer le travail échangé au cours de cette transformation

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