Notes sur la division euclidienne - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur la division euclidienne - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la division euclidienne - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'approche formelle équivalente, la démonstration, les exemples.
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(4.40)

Et nous divisons donc 15 par le reste 6 (ce résultat sera inférieur à 6 et permet immédiatement de

tester si le reste sera le PGCD). Nous obtenons:

(4.41)

A nouveau, nous n'arrivons pas à paver ce rectangle rien qu'avec des carrés. En d'autres termes,

nous avons un reste non nul qui vaut 3. Soit un rectangle de 6 par 3. Nous cherchons donc

maintenant à paver ce nouveau rectangle car nous savons que le PGCD est par construction

inférieur ou égal à 3 et qu'il laissera un reste nul si il existe. Nous avons alors géométriquement:

(4.42)

Nous divisons 6 par 3 (ce qui sera inférieur à 3 et permet immédiatement de tester si le reste sera

le PGCD):

(4.43)

et c'est tout bon! Nous avons 3 qui laisse donc un reste nul et divise le reste 6 il s'agit donc du

PGCD. Nous avons donc au final:

Maintenant, voyons l'approche formelle équivalente:

Soit , où . En appliquant successivement la division euclidienne (avec b>a), nous

obtenons la suite d'équations:

(4.44)

Si , alors .

Sinon de manière plus formelle:

Démonstration:

Nous voulons d'abord montrer que . Or, d'après la propriété :

(4.45)

nous avons :

(4.46)

Pour démontrer la deuxième propriété de l'algorithme d'Euclide, nous écrivons l'avant dernière

équation du système sous la forme:

(4.47)

Or, en utilisant l'équation qui précède cette avant dernière équation du système, nous avons :

(4.48)

En continuant ce processus, nous arrivons à exprimer comme une combinaison linéaire

de a et b.

C.Q.F.D.

Exemple:

Calculons le plus grand commun diviseur de (966,429) et exprimons ce nombre comme une

combinaison linéaire de 966 et de 429.

Nous appliquons bien évidemment l'algorithme d'Euclide:

(4.49)

Nous en déduisons donc que :

(4.50)

et, de plus, que:

(4.51)

Donc le PGCD est bien exprimé comme une combinaison linéaire de a et b et constitue à ce titre le

PGCD.

Définition: Nous disons que les entiers sont "relativement premiers" si :

(4.52) PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE

Définitions:

D1. Soit , nous disons que m est un "commun multiple"

de si pour .

D2. Soit , nous appelons "plus petit commun multiple" (PPCM) de ,

noté :

(4.53)

le plus petit entier positif par tous les communs multiples de .

Exemple :

Considérons les entiers positifs 3 et 5. Un multiple commun de 3 et 5 est un entier positif qui est à

la fois un multiple de 3, et un multiple de 5. Autrement dit, qui est divisible par 3 et aussi par 5.

Nous avons donc:

(4.54)

Nous avons alors l'intersection représentée par le diagramme de Venn suivant:

(4.55)

avec l'ensemble des communes multiples suivant:

(4.56)

et le PPCM est alors:

(4.57)

On constate que l'ensemble des multiples communs de 3 et 5 est aussi l'ensemble des multiples

de 15.

Remarque: Soit . Alors, le plus petit commun multiple existe. En effet, considérons

l'ensemble:

(4.58)

Puisque , alors l'ensemble est non vide et, d'après l'axiome du bon ordre,

l'ensemble E contient un plus petit élément positif.

Voyons maintenant quelques théorèmes relatifs au PPCM :

T1. Si m est un commun multiple de alors

Démonstration:

Soit . Alors, d'après la division euclidienne, il existe des entiers q et r tels que:

(4.59)

Il suffit de montrer que . Supposons (démonstration par l'absurde).

Puisque et , alors on a et cela pour . Donc, r est un commun

multiple de plus petit que le PPCM On vient d'obtenir une contradiction, ce qui prouve

le théorème.

C.Q.F.D.

T2. Si , alors

La démonstration sera supposée évidente (dans le cas contraire contactez-nous et cela sera

détaillé!)

T3.

Démonstration:

Pour la démonstration, nous allons utiliser le "lemme d'Euclide" qui dit que

si a|bc et alors a|c.

Effectivement cela se vérifie aisément car nous avons vu qu'il existe tels

que et alors . Mais a|ac et a|bc impliquent que , c'est-à-

dire également que .

Revenons à notre théorème:

Puisque et , il suffit de prouver le résultat pour des entiers

positifs a et b. En tout premier lieu, considérons le cas où . L'entier [a,b] étant un multiple

de a, nous pouvons écrire . Ainsi, nous avons et, puisque , il s'ensuit,

d'après le lemme d'Euclide, que b |m. Donc, et alors . Mais ab est un commun

multiple de a et b qui ne peut être plus petit que le PPCM. c'est pourquoi .

Pour le cas général, c'est-à-dire , nous avons, d'après la propriété :

(4.60)

et avec le résultat obtenu précédemment que:

(4.61)

Lorsque nous multiplions des deux côtés de l'équation par , le résultat suit et la démonstration

est effectuée.

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