Notes sur la division euclidienne des polynômes, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur la division euclidienne des polynômes, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la division euclidienne des polynômes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la Démonstration, les remarques.
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Division euclidienne des polynômes.

Plaçons nous à présent dans l'anneau k[X]. Si , nous notons deg(P) le degré du

polynôme P(X) à coefficients dans un anneau k (les réels ou les complexes... peu importe!)

Remarque: Par convention,

Soit:

(8.54)

avec .

Alors il existe deux polynômes uniques tels que:

(8.55)

et:

(8.56)

Démonstration:

Si u(X) = 0 le résultat est évident. Supposons que et montrons l'existence par récurrence

sur le degrék de u(X).

Si k = 0 alors q(X) = 0 (puisque ) et donc r(X) = u(X) fait l'affaire.

Supposons l'affirmation vraie pour tout :

Soit u(X) de degré . Si alors q(X) = 0 et r(X) = u(X) font l'affaire.

Sinon, si alors en écrivant:

(8.57)

nous réduisons u(X) à un polynôme de degré puisque v(X) est de degré m (et qu'il existe)!

Effectivement, le terme:

(8.58)

élimine (au moins) le terme de plus grand degré

Par hypothèse de récurrence, il existe f(X),g(X) tels que:

(8.59)

avec . Donc:

(8.60)

et:

, (8.61)

font l'affaire.

Donc par récurrence nous observons que la division euclidienne existe dans l'anneau des

polynômes k[X].

C.Q.F.D.

Remarque: Cette démonstration nous a permis dans le chapitre de théorie des ensembles de montrer

que cet anneau est "principal".

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