Notes sur la fonction de Cauchy, Notes de Logique mathématique. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur la fonction de Cauchy, Notes de Logique mathématique. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur la fonction de Cauchy. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La variable aléatoire, le changement de variable, la fonction de Cauchy, exemple, la loi Beta.
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Fonction de Cauchy.

Soient X,Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois Normales centrées réduites

(variance unité et espérance nulle). La fonction de densité est donc donnée par :

(7.386)

La variable aléatoire :

(7.387)

(la valeur absolue intervient dans l'intégrale lors du changement variable) suit une caractéristique

appelée "fonction de Cauchy" (ou "loi de Cauchy") ou encore "loi de Lorentz".

Déterminons sa fonction de densité f. Pour cela, rappelons que f est déterminée par la relation

(générale):

(7.388)

Donc (application du calcul intégral élémentaire) :

(7.389)

dans le cas où f est continue.

Etant donné que X et Y sont indépendantes, la fonction de densité du vecteur aléatoire est donnée

par un des axiomes des probabilités (cf. chapitre de Probabilités) :

(7.390)

Donc :

(7.391)

où donc .

Cette dernière intégrale devient :

(7.392)

Faisons le changement de variable dans l'intégrale intérieure. Nous obtenons :

(7.393)

Donc :

(7.394)

C'est maintenant que la valeur absolue va nous être utile pour écrire :

(7.395)

Pour la première intégrale nous avons :

(7.396)

Il ne reste donc plus que la seconde intégrale et en faisant le changement de variable , nous

obtenons :

(7.397)

Ce que nous noterons par la suite (afin de respecter les notations optées jusqu'à présent) :

(7.398)

et qui n'est d'autre que la fonction de Cauchy.

Il s'agit par ailleurs bien d'une fonction de distribution car elle vérifie (cf. chapitre de Calcul

Différentiel et Intégral):

(7.399)

Exemple:

Tracé de la fonction de distribution:

(7.400)

La fonction de Cauchy a pour espérance (moyenne) :

(7.401)

Attention !!! Les calculs précédents ne donnent pas zéro au fait car la soustraction d'infinis est non

pas nul mais indéterminé ! La loi de Cauchy n'admet donc pas d'espérance rigoureusement

parlant!

Ainsi, même si nous pouvons bricoler une variance :

(7.402)

celle-ci est absurde et n'existe rigoureusement parlant pas puisque la l'espérance n'existe pas...!

4.15. LOI BÊTA

Rappelons d'abord que la fonction Gamma d'Euler est définie par la relation (cf. chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral):

(7.403)

Nous avons démontré (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) qu'une propriété non triviale

de cette fonction est que:

(7.404)

Posons maintenant:

(7.405)

où :

(7.406)

En faisant le changement de variables :

(7.407)

nous obtenons :

(7.408)

Pour l'intégrale interne nous utilisons maintenant la substitution et nous

trouvons alors:

(7.409)

La fonction B qui apparaît dans l'expression ci-dessus est appelée "fonction bêta" et nous avons

donc :

(7.410)

Maintenant que nous avons défini ce qu'était la fonction bêta, considérons deux

paramètres et considérons la relation particulière ci-dessous comme étant la "fonction

de distribution Bêta" ou "loi bêta" (il existe plusieurs formulations de la loi bêta donc une très

importante qui est étudiée en détails dans le chapitre de Techniques de Gestion):

(7.411)

où:

(7.412)

Nous vérifions d'abord que que est bien une fonction de distribution (sans trop aller dans

les détails...):

(7.413)

Maintenant, nous calculons qu'elle est son espérance (moyenne) :

(7.414)

en utilisant la relation:

(7.415)

et sa variance :

(7.416)

En sachant que et que nous trouvons :

(7.417)

et donc :

(7.418)

Exemple:

Tracé de la fonction pour en rouge, en

vert, en noir, en bleu, en

magenta, en cyan, en gris, en

turquoise, en jaune, en couleur or :

(7.419)

et tracé de la fonction de distribution et répartition de la loi bêta de paramètres :

(7.420)

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