Notes sur la fonction gamma, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur la fonction gamma, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur fonction gamma. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, le changement de variables, la "fonction d'Erlang", exemple, la fonction de Khi-Deux, exemple.
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Fonction gamma.

La fonction Gamma d'Euler étant connue, considérons deux paramètres et définissons

la "fonction Gamma" (ou "loi Gamma") comme étant donnée par la relation :

(7.421)

En faisant le changement de variables nous obtenons :

(7.422)

et pouvons alors écrire la relation sous une forme plus classique que nous trouvons fréquemment

dans les ouvrages :

(7.423)

et c'est sous cette forme que nous retrouvons cette fonction dans MS Excel sous le nom

LOI.GAMMA( ) et pour sa réciproque par LOI.GAMMA.INVERSE( ).

Remarques:

R1. Si alors et nous retombons sur la loi exponentielle.

R2. Si la distribution s'appelle alors la "fonction d'Erlang".

Ensuite, nous vérifions avec un raisonnement similaire en tout point celui de fonction bêta

que est une fonction de distribution :

(7.424)

Exemple:

Tracé de la fonction pour en rouge, en vert, en

noir, en bleu, en magenta :

(7.425)

et tracé de la fonction de distribution et répartition pour la fonction Gamma de

paramètre :

(7.426)

La fonction Gamma a par ailleurs pour espérance (moyenne):

(7.427)

et pour variance :

(7.428)

Démontrons une propriété de la fonction Gamma qui nous servira à démontrer plus tard dans ce

chapitre lors de notre étude de l'analyse de la variance et des intervalles de confiance sur des

petits échantillons une autre propriété extrêmement importante de la loi du khi-deux.

Comme nous le savons, la fonction de densité d'une variable aléatoire suivant une fonction

Gamma de paramètres est :

(7.429)

avec (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) la fonction Gamma d'Euler :

(7.430)

Par ailleurs, quand une variable aléatoire suite une fonction Gamma nous la notons:

(7.431)

Soit X, Y deux variables indépendantes. Montrons que si et alors :

(7.432)

Notons f la fonction de densité du couple (X,Y), la fonction de densité de X et la fonction

de densité de Y. Vu que X, Y sont indépendantes, nous avons :

(7.433)

pour tout .

Soit . La fonction de répartition de Z est alors :

(7.434)

où .

Remarque: Nous appelons un tel calcul une "convolution" et les statisticiens ont souvent à

manipuler de telles entités ayant à travailler sur des nombreuses variables aléatoires qu'il faut

sommer ou même multiplier.

En simplifiant :

(7.435)

Nous effectuons le changement de variable suivant :

(7.436)

Le jacobien est alors (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

(7.437)

Donc avec la nouvelle borne d'intégration nous avons:

(7.438)

Si nous notons g la fonction de densité de Z nous avons :

(7.439)

Par suite :

(7.440)

et étant nulles lorsque leur argument est négatif, nous pouvons changer les bornes

d'intégration :

pour (7.441)

Calculons g :

(7.442)

Après le changement de variable nous obtenons :

(7.443)

où B est la fonction bêta que nous avons vu plus haut dans notre étude la fonction de distribution

bêta. Or nous avons aussi démontré la relation :

(7.444)

Donc :

(7.445)

Ce qui finalement nous donne :

(7.446)

Ce qui montre que bien que si deux variables aléatoires suivent une fonction Gamma alors leur

somme aussi tel que :

(7.447)

donc la fonction Gamma est stable par addition de même que le sont toutes les lois qui découlent

de la loi gamma et que nous allons aborder ci-après.

4.17. FONCTION DE KHI-DEUX (OU DE PEARSON) La "fonction de Khi-Deux" (appelée aussi "loi du Khi-Deux" ou encore "loi de Pearson") n'est qu'un

cas particulier de la fonction de distribution Gamma dans le cas où et ,

avec k entier positif :

(7.448)

Cette relation qui relie la loi du khi-deux à la loi Gamma est important dans MS Excel car la

fonction LOI.KHIDEUX( ) donne le seuil de confiance et non la loi de distribution. Il faut alors

utiliser la fonction LOI.GAMMA( ) avec les paramètres donnés ci-dessus (à part qu'il faut prendre

l'inverse de 1/2, soit 2 comme paramètre) pour avoir la fonction de distribution et de répartition.

Tous les calculs faits auparavant s'appliquent et nous avons alors immédiatement:

(7.449)

Exemple:

Tracé de la fonction pour en rouge, en vert, en noir, en bleu :

(7.450)

et tracé de la fonction de distribution et respectivement de répartition pour la loi du khi-deux

pour :

(7.451)

Dans la littérature, il est de tradition de noter :

ou (7.452)

pour indiquer que la distribution de la variable aléatoire X est la loi du khi-deux. Par ailleurs il est

courant de nommer le paramètre k "degré de liberté" et de l'abréger "ddl".

La fonction khi-deux découle donc de la loi gamma et par ailleurs en prenant nous

retrouvons aussi la loi exponentielle (voir plus haut) pour :

(7.453)

Par ailleurs, puisque (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(7.454)

la loi du khi-deux avec k égal à l'unité peut s'écrire sous la forme :

(7.455)

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