Notes sur la forme ensembiste d'un jeu - 2° partie, Notes de Gestion des affaires
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 janvier 2014

Notes sur la forme ensembiste d'un jeu - 2° partie, Notes de Gestion des affaires

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Notes de gestion sur la forme ensembiste d'un jeu - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: tableau, interprétation du tableau.
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concurrence parfaite (cf. chapitre d'Économétrie). La société S1 décide d'investir un nouveau

marché, constitué par un ensemble de régions d'importances comparables.

La pénétration dans différentes régions s'opère grâce à l'installation d'un présentoir dans une

chaîne de magasinsC1 ou C2 dans chacune des région. Pour mieux motiver ses détaillants, la

société S1 ne choisira qu'une seule chaîne de distribution (C1 ou C2) par région pour vendre ses

produits.

La société S2 ayant pris connaissance du projet de la société S1 décide alors aussi d'investir le

marché de manière similaire.

Le problème pour chaque société est de savoir, pour chaque région, s'il vaut mieux faire

installer un présentoir dans la chaîne de magasins C1 ou C2 ou ne pas en faire installer du tout,

c'est-à-dire nulle part (ce que nous noterons NP).

Suite à une étude de marché (il faut bien obtenir au moins quelques chiffres au départ pour

faire des maths...) la société S1 apprend que ses gains par rapport au concurrent seraient ceux

représentés dans le tableau ci-dessous :

S1 / S2 C1 C2 NP

C1 0 2 4

C2 6 -3 8

NP -3 -5 0

Tableau: 10 - Préparation du jeu pour analyse graphique

La société S2 arrive au même résultat suite à une étude de marche (nous simplifions par cette

hypothèse l'analyse du problème).

Remarques:

R1. Puisque tout ce gagne un concurrent serait perdu par l'autre, le jeu est à somme nulle (d'où le

fait qu'il n'y ait qu'une seule valeur dans chaque cellule)

R2. Nous supposerons que les deux sociétés ne peuvent et ne veulent pas communiquer entre

elles, en d'autres termes qu'il s'agit d'un jeu non coopératif.

Commençons par analyser quelles sont les stratégies qui n'ont aucun intérêt pour l'une ou

l'autre des sociétés.

Pour cela, regardons s'il y a une stratégie qui ne sera jamais choisie par S1 quelque soit la

stratégie de S2 :

1. Si S2 choisit C1 alors S1 aura pour meilleur intérêt à choisir C2

2. Si S2 choisit C2 alors S1 aura pour meilleur intérêt à choisir C1

2. Si S2 choisit NP alors S1 aura pour meilleur intérêt à choisir C2

Nous voyons ici que quelque soit le choix de S2, la société S1 ne choisira jamais NP. Donc la

stratégie NP pourS1 est totalement dominée et peut être éliminée.

De même, regardons s'il y a une stratégie qui ne sera jamais choisie par S2 quelque soit la

stratégie de S1.

1. Si S1 choisit C1 alors S1 aura pour meilleur intérêt à choisir C1

2. Si S1 choisit C2 alors S1 aura pour meilleur intérêt à choisir C2

3. Si S1 choisit NP alors S1 aura pour meilleur intérêt à choisir C2

Nous voyons ici que quelque soit le choix de S1, la société S2 ne choisira jamais NP. Donc la

stratégie NP pourS2 est totalement dominée et peut être éliminée.

Le tableau se simplifie alors de la manière suivante :

S1 / S2 C1 C2

C1 0 2

C2 6 -3

Tableau: 11 - Simplification du jeu pour analyse graphique

Par ailleurs, ce jeu ne contient pas d'équilibre de Nash (donc aucune stratégie pure n'est

avantageuse). Il est donc sans équilibres. Effectivement, si S1 choisit C1 alors S2 a intérêt à

choisir aussi C1. Mais S1 à alors meilleur intérêt à jouer C2. Mais S2 a maintenant intérêt a

choisir plutôt C2. Ce qui redonne à S1 l'envie de choisir C1...

Etudions maintenant l'aspect ensembliste, en d'autres termes l'aspect du jeu qui va donner la

stratégie mixte à opter par S1 avec la répartition du choix ad hoc pour que celle-ci ait un gain

maximal.

Pour cela, appelons p et q les fréquences avec lesquelles les sociétés S1 et S2 choisissent la

chaîne de magasinC1.

S1 / S2 C1 C2

C1 0 2 p

C2 6 -3 1-p

q 1-q

Tableau: 12 - Mise sous forme paramètrique du jeu pour analyse graphique

Ces probabilités doivent être interprétées comme de la manière suivante :

1. Si p et q sont égaux à l'unité alors pour toutes les régions ce sera la chaîne C1 qui s'occupera

de la commercialisation

2. Si p et q sont par exemple 9/11 et respectivement 5/11 cela signifiera que la société S1

donnera le droite de vente à la chaîne de magasins C1 dans 9 régions sur 11 (les deux

restantes étant pour C2) et respectivement la société S2 donnera le droite de vente à la chaîne

de magasins C1 dans 5 régions sur 11 (les 6 restantes étant pour C2).

Donc commençons notre étude. Nous allons nous mettre dans une optique d'analyse dans

laquelle la société S1 cherche sa stratégie mixe de manière à maximiser son gain (ou utilité)

que nous noterons v et à connaître la stratégie mixte de la société S2 afin qu'elle minimise sa

perte v (puisque c'est un jeu à somme nulle et tout ce que gagne l'un l'autre le perd).

Le système d'équation sera alors naturellement pour la société S1 :

(26)

et pour la société S2 :

(27)

Or, nous retrouvons ici une situation remarquable. Effectivement il ne s'agit que de deux

formes standards de programmation linéaire (cf. chapitre de Méthodes Numériques). Nous

avons vu lors de notre étude de celle-ci que lorsqu'il y a qu'une seule inconnue par forme (ou

système) alors il est possible de passer par une résolution graphique sans faire usage de

l'algorithme du simplexe.

Après simplification cela donne :

(28)

et la représentation graphique de v en fonction de p correspondante :

(29)

En résolvant avec l'algorithme du simplexe nous avons comme valeurs optimales pour les deux

systèmes respectifs (il est aussi possible de lire la valeur approximative sur les graphiques mais

bon...) :

(30)

La société S1 peut par conséquent se garantir un gain moyen v (nous devrions parler

"d'espérance" pour être rigoureux) de 12/11. Effectivement :

(31)

et la probabilité p donnant au fait la distribution entre les chaînes de magasin C1 qui aura 9/11

du marché de l'ensemble des régions et C2 le reste soit 2/11 (la somme devant faire bien

évidemment 1).

La société S2 peut par conséquent se garantir aussi un gain moyen v de 12/11. Effectivement :

(32)

et la probabilité q donnant la distribution entre les chaînes de magasin C1 qui aura 5/11 du

marché de l'ensemble des régions et C2 le reste soit 6/11.

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