Notes sur la géométrie analytique - 1° partie, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur la géométrie analytique - 1° partie, Notes de Géométrie analytique et calcul

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Notes de mathématique sur la géométrie analytique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coniques, la démonstration.
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La "géométrie analytique" est la branche de la géométrie qui s'occupe de l'étude des formes géométriques et de leurs propriétés en utilisant les outils avancés du calcul algébrique tel que

l'analyse fonctionnelle, le calcul vectoriel ou l'algèbre linéaire. Sa frontière se situe au niveau des

outils utilisés.

Remarque: Lorsque nous faisons usage pour ces mêmes études du calcul différentiel et intégral,

alors nous faisons de la "géométrie différentielle" (voir chapitre du même nom).

La géométrie analytique est un très vaste domaine (comme tout le reste) alors... nous aborderons

ici que les éléments absolument indispensables à l'étude de la physique et de l'ingénierie. Ces

éléments sont par ailleurs souvent étudiés dans les petites classes et sont (cités dans l'ordre) : les

coniques, les équations de la droite, du plan, de la sphère, etc... leurs intersections, leurs plans

tangents et encore bien d'autres.

CONIQUES

Il nous a été très difficile de choisir s'il fallait mettre l'étude des coniques dans la section d'algèbre

ou de géométrie. Nous avons finalement décidé de mettre cette étude dans le présent chapitre

(donc de géométrie...) qui permet de supposer que le lecteur ayant fait une lecture linéaire du site

a déjà parcouru tous les chapitres présentant les outils mathématiques nécessaires à l'étude des

coniques. Nous espérons que notre choix s'avérera le meilleur pour le lecteur.

Remarque: L'étude des coniques nous sera très utile dans le chapitre d'Astronomie ainsi que dans le

chapitre d'Optique Géométrique. Il convient donc de s'y attarder dans les détails.

Soit un repère orthonormé du plan. Les courbes algébriques les plus simples que l'on

trouve après les droites dont les équations sont sous forme générale (rappel):

(24.1)

sont les courbes du deuxième degré, à savoir par extension :

(24.2)

avec non tous nuls. Ces courbes de second degré sont appelées "coniques" (appelées

également "quadriques" de par la présence d'un terme quadratique).

Notre première tâche va consister à obtenir, par translation et rotation du repère dans laquelle

cette relation est exprimée, une équation réduite beaucoup plus simple tel en éliminant le terme

en xy . En effet, choisissons un nouveau repère se déduisant de l'ancien par une rotation

d'angle . Soit x' et y' les nouvelles coordonnées des points. Nous avons (cf. chapitre de

Géométrique Euclidienne) :

(24.3)

D'où:

(24.4)

L'équation devient:

(24.5)

Nous cherchons donc à ce que termes en x'y' regroupés soient tels que :

(24.6)

Puisque (cf. chapitre de Trigonométrie) :

et (24.7)

par substitution, nous obtenons :

(24.8)

Pour avoir que les termes en x'y' se simplifient, il suffit donc de choisir l'angle de rotation tel

que:

(24.9)

Nous considérerons alors désormais l'équation:

(24.10)

1. Si nous posons et . Quitte à diviser par , nous pouvons nous ramener à une

équation du type:

(24.11)

où:

- Si , nous nous retrouvons avec une équation décrivant la figure d'une "parabole" d'axe

parallèle à .

- Si , il s'agit d'un cas dégénéré

2. Si nous posons et le cas se traite comme précédemment

3. Si et , nous pouvons supprimer les termes et de la façon suivante:

(24.12)

Par un simple changement de repère de translation, nous arrivons donc à une équation du type:

(24.13)

- Si , alors la relation précédente se réduit à un point dans si et sont de même

signe, et à une droite si et sont de signe contraire.

- Si et posons:

(24.14)

où signifie: 1 multiplié par le signe de .

Et divisions le tout par tel que:

(24.15)

Posons:

(24.16)

Nous obtenons:

(24.17)

Nous avons donc plusieurs situations possibles:

(24.18)

Deux termes ci-dessus sont impossibles dans , c'est pourquoi nous les avons tracés (la somme

de deux nombres positifs ne peut être négative et inversement).

Il y a plusieurs cas de figures intéressants:

- Pour:

ou (24.19)

et nous avons un cercle de rayon unité.

- Pour:

, (24.20)

et nous avons une ellipse.

- Pour:

(24.21)

et , nous avons des hyperboles dont l'axe de symétrie est soit parallèle à OX soit à OY

Remarque: Pour voir les figures, utilisez la fonction implictitplot(...) dans Maple.

Le terme "conique" provient du fait que l'une des premières définitions des conques consistait en

l'intersection d'un cône et d'un plan.

En effet, soit l'équation d'un cône ayant un angle de au sommet (voir géométrie

spatiale)

l'équation d'un plan de vecteur normal (nous utilisons les cosinus

directeurs):

(24.22)

Posons:

(24.23)

Explications: nous avons ainsi un vecteur normal de le plan ZOY et un plan qui n'est jamais en

intersection avec l'axe X. Si le cosinus directeur , nous avons un plan vertical translaté

de h sur l'axe des Y. Si , nous avons un plan horizontal translaté de h sur l'axe des Z

Soit la matrice de rotation dans l'espace par rapport à l'axe Z (cf. chapitre de Géométrie

Euclidienne):

(24.24)

avec:

(24.25)

Nous avons donc pour expression de rotation du plan:

(24.26)

Après simplification:

(24.27)

Donc après rotation, nous avons un plan vertical translaté de h selon l'axe des Y.

Identiquement, pour le cône, une rotation correspond selon l'axe des Z (donc il ne se passe pas

grand chose):

(24.28)

Après développement et simplification:

(24.29)

Equation qui donne un cône horizontal si et un cône vertical si .

Ainsi, nous avons le système général:

(24.30)

Si nous traçons dans Maple la fonction (en s'amusant avec les angles):

>implicitplot3d({x^2-(y^2-z^2)*cos(2* )+y*z*2*sin(2* )=0,z=h},x=-20..20,y=-20..20,z=-

20..20)

Nous voyons que pour:

- nous obtenons une intersection entre le plan et le cône donnant une ellipse

- nous obtenons une parabole

- nous obtenons une hyperbole

Voici à peu près ce que cela donne:

(24.31)

Nous donnons également à la courbe d'équation le nom d'hyperbole car, par changement

de variable:

(24.32)

Ce qui nous ramène à:

(24.33)

ce qui comme nous l'avons vu précédemment, est bien l'équation d'une hyperbole.

Cependant, les coniques on aussi une définition géométrique:

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