Notes sur la mécanique classique ou rationnelle - 1° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 janvier 2014

Notes sur la mécanique classique ou rationnelle - 1° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

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Notes de physique sur la mécanique classique ou rationnelle - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les définitions, la loi de Newton, la loi d'inertie, le principe fondamental de la dynamique, la l...
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MÉCANIQUE CLASSIQUE OU RATIONNELLE

Avant d'aborder l'étude des corps solides en mouvement dans le cadre de la mécanique

classique (à l'opposé de la mécanique relativiste) appelée également "mécanique rationnelle" ou

"mécanique newtonienne", il peut sembler être dans l'ordre logique des choses de définir et

d'étudier les propriétés relativement à leur état statique.

Définitions:

D1. Un phénomène est dit "statique" ou "en équilibre" lorsqu'il ne subit aucune dynamique

(accélération ou in extenso : force), du moins apparente. Nous pouvons considérer un équilibre

comme un état statique, bien qu'il ne soit qu'apparent car il peut être le résultat de deux

dynamiques opposées qui se compensent ! Ainsi, les grandeurs qui décrivent un phénomène

statique sont des constantes, les valeurs concrètes de ces grandeurs sont calculables.

De manière plus technique cette définition est érigée au rang de principe appelé le "principe

fondamental de la statique" qui énonce que pour qu'un système soit en équilibre, il faut que la

résultante générale et le moment résultant des forces extérieures soit équivalent à zéro par

rapport à son centre de masse ou de gravité. (la condition est suffisante pour les problèmes de

mécanique qui traitent des solides indéformables).

D2. La "statique" est l'étude des conditions d'équilibre d'un point matériel soumis à des forces

en équilibre

D3. Toute cause capable d'accélérer (concept défini plus loin) ou de déformer un corps est

appelé "force" (concept introduit rigoureusement par Newton et sur lequel nous reviendrons en

détail plus loin lors de l'énoncé des trois lois de Newton).

Remarque: En mécanique classique nous ne nous posons naturellement pas la question d'une

transformation du temps. Les changements envisagés concernent la grandeur position et ses

dérivées. En effet, en mécanique classique, nous postulons le "temps de Newton" : le temps

s'écoule de façon identique d'un référentiel à l'autre.

D4. Un système matériel S (ensemble de points matériels ) est dit "solide indéformable"

(rigide), ou simplement "solide", si les distances mutuelles des points matériels le constituant

ne varient pas au cours du temps :

(30.1)

LOIS DE NEWTON

Les trois lois de Newton sont à la base de la mécanique classique. Elles sont à posteriori

indémontrables et non formalisables car elles énoncent des observations et découlent donc de

notre expérience quotidienne.

Cependant, les développements de la physique moderne et qui se basent sur les conséquences

de ces trois lois sont en tel accord avec les conditions théoriques qu'impose le principe de

moindre action et les expériences y relatives, que leur validité pourrait ne plus être mise en

doute (...)

PREMIÈRE LOI (LOI D'INERTIE)

Définition: Tout corps ponctuel ou étendu persévère dans sa forme (géométrie) ou son état de

repos ou de mouvement rectiligne uniforme (décrit par le centre de masse), sauf si des "forces

imprimées" le contraignent d'en changer.

Autrement dit: Tout corps au repos ou en mouvement rectiligne uniforme est soit imprimé par

un nombre de forces nulles, soit la somme des forces imprimées est nulle (c'est le principe

fondamental de la statique appelé aussi "principe d'inertie").

Corollaire: Lorsque la trajectoire d'un corps n'est pas une droite ou lorsque la vitesse de ce

corps n'est pas constante, on peut en conclure d'après le Principe d'inertie que les forces qui

s'exercent sur ce corps ne se compensent pas.

Remarque: Nous avons démontré ce corollaire lors de notre étude du théorème de Noether dans

le chapitre traitant des Principes de la physique.

Après la virgule de la première phrase du corollaire, jaillit en pleine lumière le mot "force".

Questionnons donc ce mot : le langage courant regorge de significations différentes: la force du

poignet, la force de l'âme... Aussi, la force peut-elle être aveugle ou majeure, selon le cas...

Quoi qu'il en soit, elle a le pouvoir de changer le cours (le mouvement) et la forme (géométrie)

des choses. Sans ignorer ce halo qui entoure le mot et qui a embarrassé plus d'un physicien

avant lui, Newton donne à la force une signification très précise, qui se démarque de l'idée

intuitive d'un effort physique.

Propriétés :

P1. La force est une grandeur vectorielle

P2. L'effet d'une force, ne change pas si nous faisons glisser la force sur sa droite d'action.

Une force est donc une grandeur physique qui se manifeste par ses effets :

E1. Effet dynamique : une force est une cause capable de produire ou de modifier le

mouvement ou la forme (géométrie) d'un corps

E2. Effet statique : une force est une cause capable de produire une déformation d'un corps.

Toute force peut être représentée par un vecteur dont les quatre propriétés sont :

P1. Direction : droite selon laquelle l'action s'exerce

P2. Sens : sens selon lequel l'action s'exerce sur la droite

P3. Point d'application : point où l'action s'exerce sur le corps

P4. Intensité : la valeur (norme) de la force

Il est possible de ranger la plupart des forces par famille telles que :

F1. Les "forces de réaction" : chaque corps exerce une force sur un autre corps qui est en

contact avec lui. Par exemple, si un objet repose sur une table, cette table exerce une force

égale et opposée sur l'objet (afin que ce dernier ne s'enfonce pas dans la table - ce sont des

mécanismes quantiques qui sont à l'origine de cette force de réaction). Cette force est toujours

à la verticale du point de contact.

F2. Les "forces de frottement" : la force de frottement existe lorsque deux corps sont en

contact. Elle s'oppose toujours au mouvement. La force de frottement qui s'oppose au

mouvement n'a pas seulement un effet négatif, elle est indispensable pour assurer aussi le

contact entre deux surfaces (par exemple : contact des pneus sur la route, freinage, ...).

F3. Les "forces de tension" exercées sur un corps : c'est une force qui tire sur un élément d'un

corps comme par exemple, la tension exercée par un fil, par un ressort (cf. chapitre de Génie

Mécanique).

F4. Les "forces à distance" : ce sont les forces qui agissent par l'intermédiaire de champs

vectoriels comme par exemple le champ électrique, le champ magnétique, le champ

gravitationnel. Ce dernier a comme particularité s'il est isotrope (nous le démontrerons lors de

notre étude de la statique des forces) de pouvoir se réduire à l'étude du centre de gravité du

corps.

DEUXIÈME LOI (PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE)

Définition: Le changement de mouvement est proportionnel à la "force motrice imprimée", et

s'effectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée.

Une force, nous le savons, est dans le langage de Newton ce qui provoque le "changement du

mouvement" et pas autre chose... Mais, supplément au programme, les mots "changement du

mouvement" de cette loi cachent une signification mathématique, différente de l'intuition

"changement de vitesse". Pour Newton, nous avons vu qu'un corps au repos était caractérisé par

sa quantité de matière, sa masse. S'inspirant de certains prédécesseurs, Newton pose qu'un

corps en mouvement "transporte une certaine quantité", appelée sans fioritures : la "quantité de

mouvement". C'est en fait cette quantité qui, sous le simple mot "mouvement" est contenue

dans l'énoncé de la seconde loi. La quantité d'un mouvement est la mesure que nous tirons à la

fois de sa vitesse (concept que nous définirons plus loin lors de notre étude de la cinématique)

et de sa quantité de matière, autrement dit, par définition, le produit de sa masse par sa

vitesse.

(30.2)

En utilisant les symboles mathématiques modernes, la première partie de cette deuxième loi

peut alors se reformuler :

La force est égale à la variation en fonction du temps de la quantité de mouvement, soit dans

un cadre non relativiste :

(30.3)

Cette relation est donc valable tant que la vitesse est très inférieure à celle de la lumière comme

nous le verrons en lors de notre étude de la mécanique relativiste bien plus tard, car Newton

supposa que la masse ne variait pas (ou ne semblait pas varier...) en fonction de la vitesse.

Ainsi, la "relation fondamentale de la dynamique" (R.F.D.) est donnée par :

(30.4)

et peut s'énoncer ainsi : Soit un corps de masse m constante, l'accélération subie par un corps

dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et

inversement proportionnelle à sa masse m.

Rappel : La "masse" est une mesure pour la quantité de matière contenue dans le corps (cf.

chapitre sur les Principes De La Mécanique). La masse est une constante indépendante de

l'endroit où elle se trouve (unité S.I. kilogramme : [kg]). Le "poids", correspond lui à la force

(unité S.I. newton : N) qu'un objet exerce sur une autre par l'intermédiaire d'un champ

gravitationnel. Il dépend de l'endroit où nous nous trouvons (voir ci-dessous l'équation de la

force gravitationnelle de Newton).

Nous verrons (démontrerons) que dans le cadre d'un corps tombant dans un champ

gravitationnel à symétrie sphérique, nous avons :

(30.5)

dans le cadre de notre vieille Terre, nous avons pour habitude de poser:

(30.6)

Dans le système Eulérien et en coordonnées cartésiennes, une grandeur donné d'un milieu

continu aura une distribution en fonction des quatre variables indépendantes x, y, z, t. Pour de

petites variations dx, dy, dz et dt, la variation totale de s'exprimant par (cf. chapitre de

Calcul Différentiel Et Intégral):

(30.7)

En suivant une particule dans son mouvement, nous observons pendant un temps dt des

déplacements dx, dy, dz. Nous pouvons donc exprimer à partir de l'expression précédente la

variation totale de pendant le temps dt. Nous obtenons ainsi l'expression d'une dérivée très

importante en physique théorique dite "dérivée particulaire":

(30.8)

En mécanique nous allons particulièrement travailler avec le champ gravitationnel Newtonien.

Dès lors, la relation reliant la force à l'accélération prend une forme plus générale:

Soit la dérivée particulaire de la vitesse (pour les trois coordonnées spatiales):

(30.9)

Ce qui s'écrit aussi :

(30.10)

Ce qui peut s'écrire aussi sous forme condensée:

(30.11)

La deuxième loi de Newton s'écrit alors:

(30.12)

Cette formulation de la deuxième loi de Newton est de la plus haute importance en physique.

Elle rend compte explicitement de la force subie par un point matériel dans un champ vectoriel

en fonction de la vitesse et non plus de la position. Nous retrouverons cette formulation en

mécanique des milieux continus dans notre étude des fluides et plasmas, en électromagnétisme

ainsi qu'en Relativité Générale.

TROISIÈME LOI (LOI D'ACTION ET RÉACTION)

Énoncé : la réaction d'un corps étendu ou ponctuel solide est toujours de sens opposée et

d'intensité et de direction égale à la force imprimée.

Cette troisième loi est plus connue sous le nom de : "principe d'action/réaction" et découle de

la première loi de Newton selon le raisonnement mathématique lors de notre étude du

théorème de Noether dans le chapitre traitant des Principes de la physique.

Nous pouvons également dire encore que deux corps solides ponctuels ou étendus en contact

exercent l'un sur l'autre toujours des forces opposées en sens mais égales en intensité et en

direction

CONDITIONS D'ÉQUILIBRE

Pour qu'un point matériel, soumis à des forces soit en équilibre statique, il faut que

la résultante de ces forces soit nulle. Soit :

(30.13)

Définitions:

D1. Un solide rigide est un ensemble de points rigidement liés.

D2. Si les lignes d'action de toutes les forces agissant sur un corps sont dans un même plan, le

système de forces est dit "système coplanaire".

Une observation plus approfondie fait apparaître la force comme le résultat macroscopique de

phénomènes microscopiques complexes, à savoir des interactions à distance entre particules.

Ces interactions sont au nombre de quatre et je désire nullement en parler maintenant car elles

font appel à des outils mathématiques qui sont hors contexte dans cette section du site.

Remarque: La relation précédente, qui définit donc tout corps à l'équilibre, ouvre l'étude a de très

nombreux cas pratiques et constitue à elle seule un immense chapitre d'applications pratiques que

nous appelons la "statique des forces" et que nous développerons après avoir introduit le concept

de moment de force.

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