Notes sur la mécanique statistique - 2° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur la mécanique statistique - 2° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur la mécanique statistique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les postulats, la loi de Boltzmann.
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(32.21)

Nous avons finalement pour tous les macro-états d'un système de N particules, un total de :

(32.22)

micro-états (configurations) possibles. Or, nous avons bien vu dans l'exemple initial que :

(32.23)

Ainsi, la probabilité d'existence d'un micro-état donné est de et elle est équiprobable !!

Nous pouvons maintenant énoncer le premier postulat de la mécanique statistique (postulat de

Gibbs) : tous les micro-états discernables et accessibles d'un système isolé sont équiprobables.

Revenons-en maintenant à notre question initiale sur l'équilibre :

La notion d'équilibre associé à un macro-état nous est fournie par la thermodynamique classique.

Nous y voyons qu'un système est dit à l'équilibre lorsque son état est caractérisé par l'indépendance

temporelle des grandeurs macroscopiques (masse, énergie, pression, ...) et de la constance des

potentiels thermodynamiques (énergie interne, enthalpie, énergie de Gibbs, ...).

Pour savoir pourquoi l'équilibre est l'état le plus probable, il nous suffit de chercher quel est le

couple qui maximise :

(32.24)

puisque tous les micro-états sont de toute façon équiprobables. Il est facile de contrôler que ce

maximum est donné pour :

(32.25)

Nous pouvons dès lors énoncer le deuxième postulat de la mécanique statistique : l'état d'équilibre

est l'état qui correspond au plus grand nombre de configurations (micro-états) et est l'état le plus

probable!!

Ou en d'autres termes: Un système atteint l'équilibre lorsque son entropie devient maximale!!

Soit maintenant à considérer le système suivant :

(32.26)

La fonction de distribution P(x) qui décrit la position des particules selon l'axe x à l'équilibre

va évoluer vers une autre fonction de distribution correspondant au nouvel équilibre . À

l'équilibreP(x) est constante. Mais entre les deux équilibres, elle évolue, et devient de plus en plus

large. Nous perdons donc de l'information sur la position des particules. Nous pouvons donc ré-

énoncer le deuxième postulat en disant qu'un système hors d'équilibre évolue toujours dans le sens

d'une perte d'informations (d'un élargissement de la fonction de distribution caractéristique).

Parallèlement, le deuxième principe de la thermodynamique classique nous indique que cette toute

évolution naturelle doit nécessairement correspondre à un accroissement d'entropie . Il doit

donc exister un lien étroit entre l'information que nous possédons sur l'état de chacune des

particules et l'entropie du système.

Le cas que nous venons de décrire montre clairement que les paramètres ou concepts : nombre de

configurations, désordre, équilibre, quantité d'information et entropie d'un système isolé servent à

représenter l'état d'un système. Ces paramètres jouent le même rôle. Des relations mathématiques

doivent donc les relies les unes aux autres.

Rappelons que nous avons démontré que l'entropie statistique infométrique d'un système est

donnée par :

(32.27)

Si nous appliquons cette relation au cas d'un système physique en équilibre pour lequel nous

souhaitons calculer l'entropie, nous avons démontré :

(32.28)

Il nous faut encore savoir à quoi correspond cette probabilité constante. Nous avons démontré

précédemment qu'à l'équilibre, nous avions :

(32.29)

qui est donc le nombre de micro-états à l'équilibre. Ainsi, la probabilité de tirer un micro-état parmi

tous est de :

(32.30)

que nous notons, dangereusement par tradition simplement :

(32.31)

Nous avons ainsi :

(32.32)

Comme les probabilités des micro-états sont équiprobables et que nous sommons sur l'ensemble de

ces derniers, il vient :

(32.33)

et donc :

(32.34)

Puisque l'équilibre est liée au désordre maximum, et que le désordre est lié à l'information

manquante, il paraît raisonnable de relier l'entropie statistique de l'information à l'entropie

statistique thermodynamique en physique. Pour cela, il faut que la constante nous permette

d'obtenir les bonnes unités et il vient naturellement de choisir cette constante telle qu'elle soit égale

à la constante de Boltzmann k qui a les mêmes unités que l'entropie thermodynamique. Ainsi :

(32.35)

Il nous faut encore choisir la base du logarithme. L'expérience montre qu'il faut choisir le logarithme

népérien qui permet de retrouver des résultats de la mécanique classique après développements.

Ainsi, nous obtenons finalement la "loi de Boltzmann" :

(32.36)

Qui nous donne l'entropie thermodynamique d'un système à l'équilibre!

De par les propriétés mathématiques de l'écart-type, nous avons pour un ensemble N de sous-

systèmes :

(32.37)

Par analogie, avec une approche statistique de l'énergie interne de l'ensemble du système étant

alors:

(32.38)

Par analogie, avec une approche statistique de l'énergie interne de l'ensemble du système étant

alors:

(32.39)

Soit en différenciant:

(32.40)

ce qui est l'expression statistique intuitive du premier principe de la thermodynamique.

Effectivement, le travail est une variation d'énergie mécanique déterministe de micro-états, alors que

la chaleur comme nous le verrons plus bas se décrit à l'aide de fonctions de distributions d'où le fait

que nous intégrons sur les probabilités.

Nous y reviendrons un peu plus en détails dans le chapitre de Thermodynamique!

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