Notes sur la musique mathématique - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur la musique mathématique - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur la la musique mathématique - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:la musique mathématique,les ondes sonores longitudinales,la puissance transportée par une onde sonore
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LA MUSIQUE MATHÉMATIQUE

La théorie de la musique est l'ensemble des aspects théoriques d'un système musical

particulier. Il existe, non pas une, mais une infinité de théories musicales, chaque type de

musique possédant la sienne. Tout système musical repose en effet sur un certain nombre

d'usages, plus ou moins contraignants, susceptibles de faire l'objet d'une théorisation, orale ou

écrite.

Une théorie de la musique possède fréquemment un point de départ religieux, philosophique,

ou magique ; d'autres fois, un point de départ arithmétique ou scientifique (acoustique). C'est à

cette dernère que nous nous intéresserons ici évidemment...

Nous allons pour commencer considérer dans ce chapitre les ondes élastiques dans un gaz,

résultant des variations de pression dans le gaz. Le son constitue l'exemple le plus important

de ce type d'ondes.

ONDES SONORES LONGITUDINALES

Dans les milieux élastiques: les gaz et les liquides, des ondes sonores longitudinales se

propagent suivant le mécanisme suivant (pour les solides il s'agit d'ondes transversales

développées dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus): un couche du milieu se

déplace dans le sens de propagation de l'onde (d'où le nom de longitudinal) et comprime la

couche suivante laquelle, sous l'effet de la pression avance et comprime la couche suivante et

ainsi de suite. Cela fonctionne aussi pour une couche qui recule: la pression sur la couche

suivante diminue ce qui a pour effet de faire reculer la couche suivante laquelle diminue à son

tour la pression sur la suivante etc.

La vitesse à laquelle se déplacent ces ondes longitudinales dépend comme souvent des

caractéristique du milieu. En générale elle est plus faible dans les gaz que dans les liquides et

plus faible dans les liquides que dans les solides. Par exemple dans

l'air, dans l'eau et pour les ondes transversales dans

l'acier.

En ce qui concerne les fréquences, il n'y a presque pas de limites. On peut générer des ondes

sonores à des fractions de Hz jusqu'à des centaines de MHz. Par référence à la gamme de

fréquences audibles à l'être humain, nous appelons "infrasons" des fréquences inférieures à

20 [Hz] et "ultrasons" des fréquences supérieures à 20 [KHz].

En général, les ondes sont produites par une source de dimensions limitées et, à partir de cette

source, se propagent dans toutes les directions. Dans des milieux isotropes le front d'onde

d'une perturbation se sphérique. Nous éviterons d'introduire des coordonnées sphériques en

nous limitant à traiter des parties de fronts d'onde suffisamment éloignées de la source et

suffisamment petites devant la distance à la source pour que nous puissions assimiler le

morceau de sphère à une surface plane. Autrement dit, nous ne traiterons que les ondes planes

longitudinales.

Il existe aussi une autre différence importante entre les ondes élastiques longitudinales dans un

gaz ou liquide et les ondes élastiques transversales dans un barreau solide. Les gaz sont très

compressibles, et si des fluctuations de pression s'établissent dans un gaz, sa densité subira le

même type de fluctuation que la pression.

Considérons les ondes se propageant à l'intérieur d'un tuyau ou tube cylindrique (horizontal) de

section S. Notons et la pression et la masse volumique à l'équilibre du gaz. Dans ces

conditions d'équilibre, et sont les mêmes dans tout le volume gazeux du cylindre, c'est-

à-dire indépendants de x.

Si la pression du gaz est perturbée par exemple à l'une des deux ouvertures de cylindre creux,

un élément de volume de celui-ci Sdx sera intuitivement mis en mouvement parce que les

pressions P et P' sur les deux faces S,S ' de ce petit volume seront différentes et produiront

donc une force résultante.

Remarque: Même si elles ont une très grande vitesse, dans un gaz les molécules subissent des

chocs très fréquents les unes avec les autres. Elles parcourent au fait moins d'un micron en

moyenne (libre parcours moyen), dans les conditions normales, avant d'en taper une autre.

Il en résulte un déplacement de la section S d'une quantité et de la section S' d'une quantité

différente nécessairement différente car l'équilibre de pression n'aura pas eu le temps de se

faire.

Ainsi, l'élément de volume au début à une largeur dx mais après la variation de pression il aura

une largeur si les variations de pression sont petits en première approximation:

(1)

Cependant, en raison de la variation du volume, il y a également à présente une variation de

densité due à la compressibilité du gaz. La masse contenue dans le volume non perturbé est

initialement:

(2)

Si est la masse volumique du gaz perturbé, la masse du volume perturbé vau au final:

(3)

La conservation de la matière demande que ces deux masses soient égales, c'est-à-dire que:

(4)

ou:

(5)

En résolvant en nous obtenons:

(6)

Comme nous considérons les variations de pression petites par rapport à la pression

ambiante, est petit, nous pouvons remplacer :

(7)

par son développement limité de Taylor:

(8)

Soit:

(9)

En admettant maintenant que la pression est uniquement reliée à la masse volumique (pour

faire simple) nous pouvons écrire:

(10)

En utilisant la forme générale du développement de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries):

(11)

Nous avons alors:

(12)

La quantité:

(13)

est appelée "coefficient de compressibilité" ou plus techniquement "coefficient de

compressibilité isotherme".

Rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique que:

(14)

Alors (relation que nous utiliserons plus loin):

(15)

Conventionnellement il est noté (au signe près):

(16)

Ce qui correspond bien à l'intuition: une augmentation de pression (variation positive) implique

une diminution de volume (variation négative).

Soit:

(17)

souvent notée .

Nous avons alors:

(18)

Cette expression relie la pression en tout point du gaz à la déformation au même point.

Nous avons ensuite besoin de l'équation du mouvement de l'élément de volume. La masse de

l'élément est et son accélération .

Nous avons naturellement en termes de force (le signe moins indiquant que la force qui varie la

pression s'oppose à la pression initiale dans le cylindre) :

(19)

soit:

(20)

Dans ce problème, il y a deux champs, le champ des déplacements et le champ des

pressions P. Nous pouvons les combiner de la manière suivante en prenant:

(21)

et en dérivant par rapport à x et en nous rappelant que est indépendante de la position

dans le gaz. Nous avons alors:

(22)

Ce que nous pouvons combiner avec:

(23)

Nous retrouvons donc au final une équation d'onde de la forme (rappel) d'une équation de

Poisson (plus particulièrement il s'agit d'une équation de d'Alembert):

(24)

Nous obtenons donc une relation similaire à ce que nous avons obtenu dans le chapitre de

Mécanique Ondulatoire pour les ondes mécaniques ou dans le chapitre d'Électrodynamique

dans l'équation de propagation des ondes. Nous en concluons que le déplacement dû à une

perturbation de pression dans un gaz de propage à la vitesse:

(25)

La relation:

(26)

est parfois appelée "relation de Newton-Laplace".

Si nous considérons l'ai comme un gaz parfait diatomique alors (cf. chapitre de

Thermodynamique) nous avons ... de masse molaire (moyenne

pondérée des masses molaires de et ) il vient à une température de 300 [K]:

(27)

Ce qui est en parfait accord avec l'expérience! Par contre lorsque l'on dit qu'un avion vole à

Mach 2 (le Mach est le rapport entre la vitesse d'un avion et celle du son), on ne connaît pas

vraiment la vitesse du son (ni de l'avion) son on ne connaît pas la température.

Or, nous avons aussi le résultat suivant (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus):

(28)

Or, nous avons démontré dans le chapitre de Génie Mécanique que le coefficient de Poisson

respectait:

(29)

En prenant l'approximation que pour un gaz ... nous avons alors:

(30)

et donc:

(31)

La vitesse du son est alors donnée par le même type d'expression pour les fluides ou les

solides! Ainsi, la propagation d'une déformation longitudinale dans un solide est donnée par:

(32)

et la déformation transversale (cf. chapitre de Mécanique du solide):

(33)

Nous avons aussi:

(34)

En divisant ces deux égalités membre à membre, nous obtenons:

(35)

Soit après simplification:

(36)

Pour l'usage en laboratoire, ce modèle d'onde sonore est plus pratique que le précédente car

nous mesurons plus facilement des variations de pression dans un liquide ou un gaz, que des

déplacements de molécules.

Le mouvement des ondes dans les gaz est un processus adiabatique (cf. chapitre de

Thermodynamique) donc il n'y a aucun échange d'énergie sous forme de chaleur par élément de

volume du gaz.

PUISSANCE TRANSPORTÉE PAR UNE ONDE SONORE

Nous avons vu plus haut que:

(37)

Notons cela les variations de densité dues à l'onde sonore par:

(38)

Nous ferons le calcul de la puissance transportée que pour le cas des ondes sinusoïdales. Dans

ce cas sera de la forme:

(39)

Comme est connu, nous pouvons calculer la pression correspondante en utilisant:

(40)

En introduisant les variations de pression dues à l'onde sonore:

(41)

et en utilisant:

(42)

Il vient:

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