Notes sur la question d'algèbre, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
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Notes sur la question d'algèbre, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur la question d'algèbre. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: loi interne, loi et relation, le groupe.
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1

Licence Informatique - Informatique théorique 2 2005/2006

Algèbre

• L’algèbre et la théorie des groupes : – Al jabr tiré du titre d’un livre d’Al Khawarizmi – Étude de la résolution des équations algébriques et étude

des transformations géométriques. – Théorie basée sur la notion d’opération – Type de structures très utilisées en informatique :

arithmétique, arithmétique modulaire (taille des nombres limitée), cryptographie, …

• Bibliographie : – Eléments de théorie des groupes, J. Calais, PUF – Algèbre fondamentale et Arithmétique, G. Gras & M.N. Gras,

Ellipses

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Loi interne

• Loi interne : soit E un ensemble non vide. On appelle loi interne sur E une application de E×E dans E. On note généralement une loi interne + (ou .) et l’image d’un couple (x,y) par cette loi est notée x+y (ou x.y) et non +(x,y). L’ensemble E doté d’une loi interne + est noté (E,+) (et parfois appelé magma).

• Exemples : - sur N, f(x,y)=x+y est une loi interne, g(x,y)=x × y aussi - sur N, f(x,y)=x-y n’est pas une loi interne

• Notes : - un ensemble peut admettre plusieurs lois internes - une loi peut être externe

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Loi et relation

• Une loi interne + de E est une relation ternaire R sur E×E×E et une application (tout couple d'éléments de E a une image unique) : x+y=z ⇔ (x,y,z)∈R

• Une loi externe + de E×E dans F est une relation ternaire R sur E×E×F et une application : x+y=z ⇔ (x,y,z)∈R

• Attention : toute relation ternaire n'est pas une loi, car la loi a un caractère applicatif, c'est-à-dire que tout couple d'éléments de E a une image unique!

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Propriétés des lois

internes (1/3)

• Commutativité : + sur E est commutative ssi pour tout x,y de E, x+y=y+x

• Associativité : + sur E est associative ssi pour tout x,y,z de E, x+(y+z)=(x+y)+z

• Distributivité : + sur E est distributive par rapport à × sur E ssi pour tout x,y,z de E, x+(y×z)=(x+y)×(x+z) (distributivité à gauche) et (y×z)+x=(y+x)×(z+x) (distributivité à droite).

• Exemples : - dans N, + est commutative, associative mais pas distributive par rapport à × (par contre, × est commutative, associative et distributive par rapport à +)

- dans N, L définie par xLy=2x+y n’est ni commutative ni associative

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Propriétés des lois

internes (2/3)

• Élément neutre : + sur E admet un élément neutre e ssi pour tout x de E, x+e=e+x=x

• Élément inversible : + sur E admettant un élément neutre e, x de E est dit inversible ssi il existe x’ de E tel que x+x’=x’+x=e.

x’ est appelé inverse de x dans (E,+)

• Exemples : - dans N muni de l’addition, l’élément neutre est 0. Aucun

élément n’est inversible - dans Z muni de l’addition, l’élément neutre est 0 et tout

élément est inversible - dans Q muni de la multiplication, l’élément neutre est 1, tout

élément est inversible

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Propriétés des lois

internes (3/3)

• Théorème1 : 1- si un élément neutre existe, il est unique et est

son propre inverse

2- + étant associative, si x∈ E est inversible, son inverse y est unique et y est inversible d’inverse x

• Preuve : 1- si e et e’ sont éléments neutres, pour tout x,

e+e’=e+e’=e=e’ 2- - si z et y inverses de x, x+y=y+x=e et x+z=z+x=e.

+ étant associative, y=y+e=y+(x+z)=(y+x)+z=e+z=z - y+x=x+y=e

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Monoïde - Groupe

• Monoïde : un ensemble E muni d’une opération interne + associative et possédant un élément neutre est un monoïde

• Exemple : - l’ensemble des mots écrits avec un alphabet A muni de l’opération interne de concaténation est un monoïde

• Groupe : un ensemble E muni d’une opération interne + associative, possédant un élément neutre et pour laquelle tout élément de E possède un inverse est un groupe

• Note : - un groupe est un monoïde où tout élément est inversible

• Exemples : - (N,+) et (Z,×) sont des monoïdes - (Z,+) et (Q*,×) sont des groupes - (Z,-) n'est pas un groupe

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Groupe (suite)

• Groupe additif :

– un groupe doté d’une loi interne notée +, nommée addition, et d’un élément neutre noté 0 est appelé groupe additif. L’inverse d’un élément x est noté –x et appelé l’opposé de x.

• Groupe multiplicatif

– un groupe doté d’une loi interne notée ., nommée multiplication, et d’un élément neutre noté 1 est appelé groupe multiplicatif. L’inverse d’un élément x est noté x-1 et appelé l’inverse de x.

• Notes : - x0=1 et xn=x. .. . x n fois - xn.xm=xn+m et (xn)m= xn.m

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Groupe (suite de la suite)

• Note : - un élément (x1.x2).x3 peut être écrit x1.x2.x3 du fait de l’associativité de .

• Groupe fini –Ordre d’un groupe : un groupe est dit fini s’il a un nombre fini d’éléments. Le cardinal d’un groupe fini est appelé ordre du groupe (noté |G| ou o(G)).

• Inverse : dans un groupe, l’inverse d’un élément x1.x2. .. .xn est

• En effet, rien n'oblige dans la définition d'un groupe à ce que l'opération soit commutative

xn-1.xn-1-1. .. .x1-1

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Groupe (suite de la suite ...)

• Groupe abélien : un groupe est dit abélien (ou commutatif), si sa loi interne est commutative

• Exemple : - (N,+) est un groupe abélien

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Groupe de permutations (1/2)

• Groupe de permutations : l’ensemble des permutations d’un ensemble E (c’est-à-dire des bijections de E dans E), noté SE, muni de l’opération de composition est un groupe : – la composition est interne (la composition de deux permutations est une

permutation) et associative

– la composition admet Id pour élément neutre

– toute permutation σ a pour inverse σ-1, la permutation réciproque qui remet les éléments dans l’ordre initial.

• Pour un ensemble de n éléments, le groupe est noté Sn (il est parfois appelé le groupe symétrique Sn).

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Groupe de permutations (2/2)

• Exemple de la permutation de 3 éléments : σ123 transforme (x,y,z) en (x,y,z), σ132 transforme (x,y,z) en (x,z,y), σ321 transforme (x,y,z) en (z,y,x), …. => S3 = {σ123, σ132, σ213, σ231, σ321, σ312}

• La composition des permutations n'est pas commutative : – par exemple σ132 o σ231 transforme (a,b,c) en (c,b,a) mais σ231 o σ132 transforme

(a,b,c) en (b,a,c) • (a,b,c) → σ132 → (a,c,b) → σ231 → (c,b,a)

• (a,b,c) → σ231 → (b,c,a) → σ132 → (b,a,c)

• Les groupes de permutations ne sont donc pas abéliens

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Table de Cayley

• Les images des couples d’éléments d’un groupe fini (G,.) par l’opération . peuvent être organisées dans une table.

σ132

σ231

σ321

σ123

σ213

σ312

σ312

σ213σ132σ123σ321σ312σ312

σ123σ231σ213σ312σ321σ321

σ312σ123σ132σ231σ213σ213

σ132σ321σ312σ213σ231σ231

σ231σ312σ321σ123σ132σ132

σ321σ213σ231σ132σ123σ123

σ321σ213σ231σ132σ123o

Table de Cayley du groupe de permutations S3

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Groupe Z/nZ (1/3)

• Congruence : soit n entier positif. Deux éléments x et y de Z sont dit congruents modulo n si x-y=nz où z ∈ Z. On note x≡y (mod n). La relation de congruence est une relation d’équivalence.

• L’existence de la division euclidienne dans Z implique que pour tout x de Z et n de N*, il existe p et q tels que x = pn+q. Donc, x est congruent modulo n au reste de sa division par n.

• La classe d’équivalence d’un élément x pour la relation « modulo n » est la même que celle de son reste par la division modulo n. Les classes d’équivalence sur Z de la relation « modulo n » sont donc celles de 0,1, .. , n-1

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Groupe Z/nZ (2/3)

• Z/nZ est l’ensemble quotient de Z par la relation « modulo n ». Z/nZ = {0,1, .. ,n-1} où i est la classe d’équivalence de i.

• Exemples : - Z/2Z = {0, 1}

- Z/3Z = {0, 1, 2}

• Proposition 1 : Z/nZ est un groupe abélien pour la loi interne x+y=x+y

• Preuve : montrons que + est une application (et donc une loi interne). Si x = x’ et y = y’, ∃ k ∈ Z tel que x’ – x = kn et ∃ l ∈ Z tel que y’ – y = ln. Donc x’ + y’ – (x + y) = (k + l)n, donc x’ + y’ = x + y. Montrons que + dans Z/nZ est associative. x + (y + z) = x + (y + z) = x + (y + z) = (x + y) + z = (x + y) + z = (x + y) + z

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Groupe Z/nZ (3/3)

• Suite de la preuve : l’élément neutre de Z/nZ est 0 car x + 0 =

x + 0 = x. Tout élément x a pour opposé n-x : x+n–x = x+n–x = n = 0 . Le groupe ainsi défini est abélien car (Z,+) est abélien : x+y = x+y = y+x = y+x.

• Arithmétique des ordinateurs : en considérant la représentation des entiers sur 4 octets, soit 32 bits, avec le premier bit qui donne le signe, on a une arithmétique sur le groupe Z/232Z, avec pour chaque nombre, un représentant dans [-231,231-1] et le signe.

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Sous-groupe (1/4)

• Sous-groupe : (G,.) étant un groupe, une partie H de G est un sous-groupe de G si pour tout x,y de H, x.y ∈ H et pour tout x de H, x-1 ∈ H.

• Notes : - la définition d’un sous-groupe implique que l’élément neutre appartienne au sous-groupe

- tout sous-groupe d’un groupe G est un groupe pour la

loi induite par G - un groupe G contenant plus d’un élément (l’élément

neutre e) a au moins 2 sous-groupes : G et {e}

• Sous-groupe propre : on appelle sous-groupe propre d’un groupe G tout sous-groupe différent de G

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Sous-groupe (2/4)

• Proposition 2 : les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ={nx, x∈Z}

• Preuve : les nZ sont clairement des sous-groupes de G. Montrons que tout sous-groupe de G est de cette forme. Soit G un sous-groupe de Z. Notons a le plus petit des entiers positifs de G. Alors, pour tout n de N, na est dans G. Supposons qu’il existe un b dans G, positif et non multiple de a. b est donc encadré par deux multiples de a, na < b < (n+1)a. Donc b – na ∈ G et b – na < a, ce qui est contradictoire.

• Notes : - soit deux entiers positifs a et b. aZ ∩ bZ est un sous-groupe de Z, donc il existe un m de N tel que aZ ∩ bZ = mZ. m = ppcm(a,b)

- le pgcd de a et b est le n tel que nZ = aZ+bZ={g∈Z, il existe x∈aZ et y∈bZ et g=x+y}

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Sous-groupe (3/4)

• Exemple : - dans le groupe S3 des permutations de 3 éléments muni de la composition, {σ123, σ132} est un sous-groupe de S3

• Théorème 2 : si G est un groupe et {Hi}i∈I une famille de sous- groupes de G, alors ∩i∈I Hi est un sous-groupe de G

• Preuve : posons H = ∩i∈I H i . Si deux éléments x et y appartiennent à H, ils appartiennent à tous les Hi et x.y aussi, donc x.y appartient à H = ∩i∈I Hi. Si x appartient à H, il appartient à tous les Hi, et donc x-1 appartient à tous les Hi et donc x-1 appartient à H.

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Sous-groupe (4/4)

• Théorème 3 : si G est un groupe et {Hi}i∈I une famille de sous- groupes de G totalement ordonnée par l’inclusion, alors ∪i∈I Hi est un sous-groupe de G

• Preuve : posons H = ∪i∈I H i . Si x, y sont dans H, il existe i et j dans I tels que x ∈ H i et y x ∈ Hj. On a Hi ⊆ Hj (ou H j ⊆ Hi) puisque H est totalement ordonné par ⊆. Donc x.y ∈ Hj (ou H i) et donc à H et de même x-1 ∈ H.

• Note : - (2Z,+) et (3Z,+) sont des sous-groupes de (Z,+) mais 2Z ∪ 3Z n’est pas un sous-groupe (par exemple, 2+9=11).

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Sous-groupe engendré (1/4)

• Sous-groupe engendré : soit G un groupe et H une partie non- vide de G. Le sous-groupe de G engendré par H, noté <H>, est le plus petit sous-groupe de G contenant H.

• Proposition 3 : <H> = ∩i∈I H i où les H i sont les sous-groupes de G contenant H.

• Preuve : ∩i∈I H i est un sous-groupe (théorème 2), et il contient clairement H. Montrons que c’est le plus petit vérifiant cette propriété. S’il existe M sous-groupe de G tel que H ⊆ M ⊆ ∩i∈I Hi , alors M est un sous-groupe contenant H et ∩i∈I H i ⊆ M donc M = ∩i∈I Hi .

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Sous-groupe engendré (2/4)

• Exemple : - dans le groupe S3 des permutations de 3 éléments muni de la composition, <σ231>={σ231, σ312, σ123} et <σ231,σ213>=S3

σ132

σ231

σ321

σ123

σ213

σ312

σ312

σ213σ132σ123σ321σ312σ312

σ123σ231σ213σ312σ321σ321

σ312σ123σ132σ231σ213σ213

σ132σ321σ312σ213σ231σ231

σ231σ312σ321σ123σ132σ132

σ321σ213σ231σ132σ123σ123

σ321σ213σ231σ132σ123o

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Sous-groupe engendré (3/4)

• Théorème 4 : H étant une partie non vide d’un groupe (G,.), <H> = {x1. .. .xn ; n ∈ N* et xi ou xi-1 ∈ H pour tout i}

• Preuve : notons S = {x1. .. .xn ; n ∈ N* et xi ou xi-1 ∈ H pour tout i}. Tout élément de H est dans S donc H ⊆ S. Montrons que S est un sous-groupe de G. Pour tout élément x1. .. .xn de S, xn-1. .. .x1-1 est dans S par construction. Pour tout couple (x,y) d’éléments de S, x.y est aussi dans S par construction. Donc S est un sous-groupe de G et il contient H, donc <H> ⊆ S. De plus, tout sous-groupe de G contenant H contient nécessairement les éléments de S, donc S ⊆ <H> et donc S=<H>.

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Sous-groupe engendré (4/4)

• Partie génératrice : si une partie H d’un groupe G est telle que <H>=G, H est dite partie génératrice de G (on dit aussi que H engendre G).

• Exemple : - <σ231,σ213>=S3 donc {σ231,σ213} est une partie génératrice de S3

• Groupe monogène : si il existe dans un groupe G un élément x tel que <x>=G, G est dit monogène (on note <x> plutôt que <{x}>).

• Exemple : - Z, pour l’addition, est un groupe monogène car <1>=Z

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Ordre d’un élément

• Groupe cyclique : un groupe monogène fini est dit cyclique

• Ordre d’un élément : l’ordre d’un élément d’un groupe G est le cardinal du sous-groupe qu’il engendre dans G. Cet ordre peut être infini.

• Exemples : - dans tout groupe, l’élément neutre est le seul élément d’ordre 1

- dans (Z,+), tout élément est d’ordre infini sauf 0 - dans S3, σ132,σ321 et σ213 sont d’ordre 2, σ231 etσ312 sont d’ordre

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Sous-groupes et treillis

• Treillis de sous-groupes : l’ensemble des sous-groupes d’un groupe G forme un treillis pour l’inclusion. Pour H1 et H2 sous- groupes, H1 ∧ H2 = ? et H1 ∨ H2 = ? . L’élément minimal de ce treillis est {e} et l’élément maximal le groupe G lui-même.

H1 ∩ H2 <H1 , H2>

H1 H2

H1∩H2

<H1,H2>

<σ123>

<σ132> <σ321><σ213>

<σ132,σ213 > <σ132,σ321 > <σ213,σ321 >

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Morphisme de groupes (1/4)

• Morphisme de groupe : soit (G,.) et (H,+) deux groupes. Une application f : G→H est un morphisme si f(a.b) = f(a)+f(b) pour tout a et b de G.

• Noyau : le noyau d’un morphisme f: G→H, noté Ker(f) est l’ensemble {x∈G, f(x)=e} où e est l’élément neutre de H.

• Image : l’image d’un morphisme f: G→H, noté Img(f) est l’ensemble {y∈H, ∃x ∈ G tel que f(x)=y}

• Automorphisme : un automorphisme est un isomorphisme d’un groupe dans lui-même

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Morphisme de groupes (2/4)

• Propriétés d’un morphisme de groupe f : (G,.)→(H,+)

1. si e est l’élément neutre de G et e’ celui de H, f(e)=e’

2. f(x-1)=-(f(x))

3. Ker(f) est un sous-groupe de G et Im(f) est un sous-groupe de H

4. l’image d’un sous-groupe de G par f est un sous-groupe de H

Preuve : soit G’ sous-groupe de G et H’ = f(G’). Soit x et y dans G’, alors f(x)+f(y)=f(x.y). x.y∈G’ car G’ est un sous- groupe donc f(x.y)∈H’. Si x∈G’, x-1∈G’ et f(x-1)=-(f(x)) appartient à H’. Donc H’ est bien un sous-groupe de H.

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Morphisme de groupes (3/4)

5. f surjective ⇔ Im(f)=H Preuve : immédiate d’après la définition de la surjectivité

6. f injective ⇔ Ker(f)={e} Preuve : ⇒ si f injective et x∈Ker(f). Alors f(x)=e’=f(e) donc x=e et donc Ker(f)={e}

⇐ si Ker(f)={e} et x et x’ dans G tels que f(x)=f(x’). Alors e’=-f(x)+f(x’)=f(x-1)+f(x’)=f(x-1.x’) et donc x-1.x’∈Ker(f) et x-1.x’=e donc x’=x et donc f est injective

7. si f:G→G’, g:G’→G’’ sont des morphismes, fog:G→G’’ aussi

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Morphisme de groupes (4/4)

• Exemples : - f:Z→ Z/nZ telle que f(x)= x est un morphisme surjectif (surjection canonique). Ker(f)=nZ.

- g:H → G où H est sous-groupe de G et telle que g(x)=x est un morphisme injectif (injection canonique).

• Isomorphisme de groupe : un isomorphisme est un morphisme bijectif. Deux groupes sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme de l’un dans l’autre. En particulier, 2 tels groupes finis sont de même ordre.

• Notes : - si f est un isomorphisme, f-1 existe et est un isomorphisme - l’isomorphie est une relation d’équivalence. On peut ainsi

considérer les classes d’équivalence des groupes isomorphes et ne travailler que sur des représentants de ces classes.

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Isomorphismes

• Exemple : (< σ231, σ312>,o) et (Z/3Z,+)

σ231

σ123

σ312

σ312

σ123σ312σ312

σ312σ231σ231

σ231σ123σ123

σ231σ123o

1

0

2

2

022

211

100

10+

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Classe modulo un

sous-groupe (1/3)

• Relation d’équivalence sur un groupe : soit G un groupe et H un sous-groupe de G, alors la relation R sur G définie par xRy ⇔ x-1.y ∈ H est une relation d’équivalence. On l’appelle la relation d’équivalence à gauche modulo H.

• Preuve : - xRx pour tout x (définition d’un groupe)

- xRy entraine x-1.y ∈ H et donc (x-1.y)-1 ∈ H aussi car H est un groupe donc y-1.x ∈ H et donc yRx

- xRy et yRz implique x-1.y ∈ H et y-1.z ∈ H donc x-1.y. y-1.z ∈ H et donc x-1.z ∈ H

• Note : - la relation d’équivalence à droite modulo H est définie par xR’y ⇔ x.y-1 ∈ H

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Classe modulo un

sous-groupe (2/3)

• Exemple : - sur Z, la relation d’équivalence à gauche modulo 2Z est xRy ⇔ –x+y est multiple de 2

• Classes d’une relation d’équivalence sur un groupe : la classe d’un élément a de G pour la relation d’équivalence à gauche modulo un sous-groupe H est aH={a.x, x∈H}

• Preuve : si aRy, a-1.y ∈H, donc y=a.(a-1.y) ∈ aH. Si y∈ aH, y est de la forme a.z avec z ∈H et donc a-1.y=z∈H donc aRy

• Exemple : - pour la relation définie sur Z par 2Z, la classe à gauche de 0 est

2Z, celle de 1 est {1+x, x ∈ 2Z}

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Classe modulo un

sous-groupe (3/3)

• Proposition 4 : pour H sous-groupe de G, l’application f:H→aH définie par f(x)=a.x est une bijection

• Preuve : f est trivialement surjective. Si a.x=a.y alors a-1.a.x = a-1.a.y donc x=y donc f est injective.

• Corollaire (théorème de Lagrange) : pour un groupe fini, l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe

• Preuve : soit G un groupe, H un de ses sous-groupes et a un élément de G. H et aH étant en bijection, l’ordre de H est égal à celui de aH. Puisque les classes d’équivalence de type aH forment une partition de G et qu’elles ont toutes |H| éléments, |G|=|H|×(le nombre de classes).

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Sous-groupe distingué (1/2)

• Indice d’un sous-groupe : l’indice d’un sous-groupe H d’un groupe G, noté [G:H] est le nombre de classes de G modulo H

• Sous-groupe distingué (ou normal) : H est un sous-groupe distingué de G si c’est un sous-groupe stable par conjugaison, c’est-à-dire que ∀ h∈H et ∀ x∈G, xhx-1∈H

• Exemples : - les sous-groupes {e} et G d’un groupe G sont distingués - si G est abélien, tous ses sous-groupes sont distingués

• Propriété 5 : aH = Ha si et seulement si H est distingué

• Preuve : H distingué équivaut à aHa-1⊆ H pour tout a de G.

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Sous-groupe distingué (2/2)

• Suite de la preuve : pour a∈G, si aH=Ha, a.x∈Ha donc il existe un y de H tel que a.x = y.a et donc a.x.a-1 =y.a.a-1=y donc a.x.a-1 appartient à H et H est distingué. Si H est distingué, soit a.x un élément de aH. Alors a.x.a-1∈H, donc a.x.a-1.a est dans Ha et donc a.x est dans Ha. De même, si x.a est un élément de Ha, a-1.x.a est dans H et donc a.a-1.x.a est dans aH et donc x.a est dans aH.

• Proposition 6 : si H est un sous-groupe distingué de G, alors G/H peut être muni de la loi induite par celle de G : x . y = x.y. G/H est un groupe pour cette loi.

• Preuve : le neutre de G/H est e. L’inverse de x est x-1.

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Groupe quotient

• Note : - les relations d’équivalence droite et gauche modulo un sous-groupe distingué sont équivalentes

• Groupe quotient : étant donnés un groupe G et un sous-groupe distingué H de G, le groupe quotient de G par H, noté G/H, est l'ensemble des classes d’équivalence pour la relation d’équivalence modulo H. On a bien sur [G:H]=|G/H|.

• Exemple : - Z/3Z est le groupe quotient pour la relation xRy ⇔ x-y ∈ 3Z donc x-y est multiple de 3

• Proposition 4 : G étant un groupe, f un morphisme défini sur G, G/Ker(f) est un groupe pour la loi définie par x . y = x.y

• Preuve : voir TD Licence Informatique - Informatique théorique 2 2005/2006

Théorème d’isomorphisme

• Théorème d’isomorphisme : G étant un groupe et f un morphisme sur G, alors G/Ker(f) est isomorphe à Im(f)=f(G)

• Preuve : soit g:G/Ker(f) → Im(f) définie par x → f(x). Montrons que g est une application. Si x = x’, x.x’-1 ∈ Ker(f) donc f(x.x’-1)=e si on note e l’élément neutre de Im(f). Or f(x.x’-1)=f(x).f(x’-1)=f(x).f(x’)-1 donc f(x).f(x’)-1 = e et f(x)=f(x’) donc g(x)=g(x’). g est donc une application. g est surjective car tout f(x) a au moins un antécédent x dans G/Ker(f). Montrons que g est injective. Si f(x) = f(x’), f(x).f(x’)-1 =e= f(x.x’-1) donc x.x’-1 ∈ Ker(f) et donc x = x’. f est donc une application injective et surjective donc bijective. Montrons que g est un morphisme. g(x . x’) = g(x.x’) = f(x.x’) = f(x).f(x’) = g(x).g(x’)

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Groupe opérant sur un

ensemble et point fixe

• Action de groupe : soit G un groupe, E un ensemble. L’action de G sur E est définie par l’application de G×E → E telle qu’à tout couple (g,x) correspond par cette application g.x et telle que : ∀x∈E, e.x=x (e étant le neutre de G) et ∀g,g’ ∈ G et ∀x ∈ E, g.(g’.x)=(g.g’).x

• Exemples : - un groupe peut agir sur lui-même par l’action G×G → G avec (g,g’) → g.g’

- le groupe des permutations d’un ensemble E peut agir sur E

par l’action Σ × E → E avec (σ ,x) → σ(x)

• Point fixe d’une action de groupe : on dit que x∈E est un point fixe pour l’action de G sur E si g.x=x pour tout g de G

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