Notes sur la théorie de Jauge - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa16 janvier 2014

Notes sur la théorie de Jauge - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

PDF (135 KB)
5 pages
471Numéro de visites
Description
Notes de physique sur la théorie de Jauge - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, les développements.
20 points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 5 pages

Télécharger le document

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 5 pages

Télécharger le document

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 5 pages

Télécharger le document

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 5 pages

Télécharger le document

(45.124)

Soit tout simplement:

(45.125)

De même en sachant maintenant que f est :

(45.126)

Nous avons donc:

(45.127)

Soit:

(45.128)

La relation:

(45.129)

devient alors avec les nouvelles correspondances:

(45.130)

et avec les développements antérieurs nous avons donc:

(45.131)

Soit:

(45.132)

Ce qui donne après simplification:

(45.133)

Ainsi, en demandant l'invariance de jauge nous avons fait apparaître une interaction... et nous

savons bien qu'elle est cette interaction!

L'équation de Schrödinger d'une particule se déplaçant dans un champ électromagnétique est

donc invariante sous la transformation locale de phase. La phase d'une fonction d'onde est bel

et bien une nouvelle variable locale au sens de Weyl et le potentiel électromagnétique peut être

interprété, suivant Weyl, comme une connexion reliant les phases en différents points.

Nous en concluons que le champ électromagnétique est une conséquence de l'invariance de

jauge locale fondée sur le groupe U(1), groupe des matrices unitaires à une dimension (cf.

chapitre d'Algèbre Ensembliste). L'intérêt qui existe est de construire des théories de jauge sur

des groupes plus compliqués (non-abéliens): ces théories sont appelées "théories de Yang-

Mills".

Maintenant allons un tout petit peu plus loin mais sans trop approfondir... Nous avons montré

plus haut que le lagrangien de l'équation de Dirac libre était:

(45.134)

Or, cette équation ne faisant pas apparaître le champ électromagnétique on se doute très

fortement qu'elle n'est pas invariante à une jauge locale...

Or, l'équivalent de l'opérateur divergence dans l'équation de Schrödinger libre est la dérivée

covariante . Donc au même titre que nous avons associé pour l'invariance locale de jauge de

l'équation de Schrödinger libre:

(45.135)

Il est tentant de combiner le tout en un nouvel opérateur:

(45.136)

avec :

Le lagrangien de l'équation de Dirac libre s'écrirait alors:

(45.137)

Soit:

(45.138)

avec:

(45.139)

Il ne reste plus qu'à rajouter le terme du champ pour et nous avons le lagrangien total de

l'équation de Dirac (cela aurait été relativement dur de le trouver d'une autre manière...):

(45.140)

qui correspond aux équations de Dirac-Maxwell et qui est le "lagrangien de l'électrodynamique

quantique des champs" ou à gauche nous avons le terme des fermions et à la droite la partie

d'interaction des bosons de masse nulle (photons).

Donc le fait d'avoir rajouter sur le lagrangien libre une condition d'invariance par des

transformations locales, nous a amené à une théorie avec interaction que nous pouvons écrire

avec plus de rigueur et sous forme développée:

(45.141)

ou encore en unités naturelles et avec la charge de l'électron:

(45.142)

L'électrodynamique a fait défaut cependant dans les années 1940 pour décrire bon nombre de

particules mises en évidence par les accélérateurs. Certes, d'une certaine manière elle a été

étendue pour décrire de nouvelles particules. Mais beaucoup d'entre elles semblaient jouir de

propriétés dont l'électrodynamique quantique ne pouvait rendre compte.

Au fait la raison est simple... c'est une théorie dans laquelle aucune solution exacte n'est

connue, une situation qui perdure jusqu'à nos jours (2008). La seule méthode de calcul

disponible est appelée développement perturbatif. L'idée est essentiellement la même que celle

du développement limité que l'on pratique dans le domaine de calcul différentiel. En

l'occurrence, si nous ne savons pas calculer la valeur d'une fonction, nous la décomposons en

une séquence de polynômes et l'approximation s'affine au fur et à mesure que nous prenons en

compte des termes de degrés de plus en plus élevés. Un tel développement en série commence

par un terme d'ordre zéro, qui est juste la valeur de la fonction inconnue en un certain point où

l'on sait calculer cette fonction.

Dans le cas du développement perturbatif de l'électrodynamique quantique, le terme d'ordre

zéro représente la propagation pure, sans interaction (l'intensité de l'interaction entre l'électron

et le champ magnétique est mise à zéro). Dans cette approximation, l'électrodynamique

quantique est une théorie des particules libres et elle est exactement calculable. Nous avons

des électrons, des positons et des photons mais ils se croisent sans s'influencer. Le terme

suivant dans le développement en série, celui du premier ordre, est aussi exactement

calculable. Dans cette approximation, la théorie semble refléter assez fidélement le monde réel.

Des phénomènes physiques très intéressants apparaissent dans cette approximation de premier

ordre de la théorie réelle de l'interaction photon-électron et la théorie s'accorde bien avec les

résultats expérimentaux.

Malheureusement on eu tôt fait de découvrir que le calcul des termes de second ordre et des

termes plus élevés semblait dénué de sens jusqu'à donner des valeurs infinies... aujourd'hui il

n'existe encore que des méthode de résolution approximatives et non totalement satisfaisantes

dès lors il a été obligé de chercher une autre technique d'approximation se basant sur une

renormalisation des équations... et les résultats sont extraordinairement bons mais au fond cela

sent un peu le bricolage sur mesure quand même...

commentaires (0)

Aucun commentaire n'a été pas fait

Écrire ton premier commentaire

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 5 pages

Télécharger le document