Notes sur la théorie de Jauges - 1° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa16 janvier 2014

Notes sur la théorie de Jauges - 1° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur la théorie de Jauges - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation connue, les remarques, la tenseur du champ électromagnétique.
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THÉORIE DE JAUGES

Avant de commencer à lire ce sous-chapitre, il est de première importance pour le lecteur

d'aller faire un petit tour dans la section d'Algèbre du site, dans laquelle se trouve un chapitre

de Calcul Vectoriel où nous faisons un rappel des différents opérateurs vectoriels

indispensables en physique et leurs propriétés.

Ce qui va suivre est très important car outre le fait que nous allons faire apparaître

naturellement un nouveau champ (le potentiel vecteur) qui est indispensable dans certaines

équation de la physique quantique relativistes (voir chapitre du même nom) nous reprendrons

cette démarche de jauges dans le chapitre de physique quantique ondulatoire où les

conséquences sont beaucoup plus vastes!

Soit la relation connue:

(37.64)

il existe de par les propriétés des opérateurs rotationnel et divergence (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel) un "potentiel vecteur" tel que :

(37.65)

qui satisfait donc (la divergence du rotationnel d'un champ est toujours nulle car il s'agit d'une

propriété mathématique) :

(37.66)

Remarque: Le potentiel vecteur est donc... un potentiel ! De même que nous pouvons définir un

potentiel U dont dérive , nous pouvons définir un potentiel pour le champ . Mais

pour des raisons techniques (provenant de l'expression des rotationnels de et de dans les

équations de Maxwell), le potentiel n'est pas aussi simple que U et ne peut pas s'exprimer

comme un simple scalaire : il faut utiliser un potentiel vecteur.

Si nous portons la relation dans l'équation de Maxwell nous obtenons

:

(37.67)

Nous posons maintenant (la notation n'a aucun rapport avec la force newtonienne!):

(37.68)

et nous utilisons les propriétés mathématiques des opérateurs rotationnel et gradient pour

écrire une nouvelle relation (le signe "-" est là par anticipation de ce qui suivra):

(37.69)

où dès lors :

(37.70)

où est un "potentiel scalaire".

Remarques:

R1. Le champ semble obéir aux mêmes propriétés que le champ gravitationnel (loi de

Newton-Poisson) mais ce n'est qu'une curiosité (les unités et les autres propriétés mathématiques

n'étant pas équivalentes)

R2. Le lecteur voit sans peine que si le potentiel vecteur est nul, nous retrouvons alors (cf.

chapitre d'Électrostatique) :

(37.71)

ce qui renforce les hypothèses des développements précédents (et ce n'est pas tout...)

De plus, les champs et restent inchangés si nous effectuons dans les relations

précédentes les remplacements suivants (les termes s'annulent trivialement) :

(37.72)

où est une fonction arbitraire de et t.

Nous appelons une telle transformation un "changement de jauge". La liberté sur le choix des

potentiels permet de leur imposer une contrainte que nous appelons la "contrainte de Jauge".

Nous utiliserons soit la "jauge de Lorenz" en imposant:

(37.73)

ou soit la "jauge de Coulomb" en imposant:

(37.74)

Remarque: Nous trouvons souvent dans la littérature la dénomination "jauge de Lorentz" à la

place de "jauge de Lorenz", car comme nous l'avons déjà démontré dans le chapitre de Relativité

Restreinte, la jauge de Lorenz est invariante dans les transformations de Lorentz.

Montrons qu'il est possible d'imposer la jauge de Coulomb. Pour cela, étant donnés et , il

suffit de trouver dans les équations:

(37.75)

tel que la relation (jauge de Coulomb) soit vérifiée. Ainsi, doit vérifier

trivialement:

(37.76)

La relation :

(37.77)

est appelée "équation de poisson du potentiel vecteur".

De même, pour montrer qu'il est toujours possible d'imposer la condition de Lorenz, il suffit de

trouver dans les équations précitées :

(37.78)

tel que (nous laissons le soin au lecteur de faire le développement car c'est de l'algèbre

élémentaire, sinon quoi envoyez-nous un mail et nous rajouterons ce qui manque) la relation

ci-dessous soit vérifiée :

(37.79)

où l'opérateur:

(37.80)

est par définition appelé le "d'Alembertien" (nous le retrouverons souvent ce terme à partir de

maintenant aussi bien en électrodynamique qu'en physique quantique) qui est donc aussi

invariant par transformation Lorentz comme nous le verrons lors de notre étude de la relativité

restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Donc sans écrire cela avec le d'alembertien nous aurions :

(37.81)

Effectivement :

(37.82)

En reportant les équations :

et (37.83)

dans les deux autres équations de Maxwell dans le vide :

et (37.84)

nous obtenons, en faisant apparaître le laplacien par une des propriétés des opérateurs

vectoriels rotationnel, gradient et divergence (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

(37.85)

les relations suivantes:

(37.86)

la dernière relation étant appelée "jauge arbitraire".

Pour la jauge de Lorenz, ces deux dernières équations se simplifient en (n'hésitez pas à nous

contacter si vous ne voyez pas comment) :

(37.87)

que nous appelons "équations d'onde des potentiels électromagnétiques" en analogie avec les

équations d'onde des champs électrique et magnétique que nous déterminerons plus loin.

Pour la jauge de Coulomb, les mêmes équations se simplifient en:

(37.88)

Sachant que nous pouvons aussi écrire les deux équations d'onde des potentiels

électromagnétiques sous la forme :

(37.89)

Posons maintenant (afin homogénéiser les unités) tel que nous définissions un

"quadrivecteur potentiel" qui nous permet d'écrire vectoriellement les deux relations ci-dessus

de manière unifiée :

(37.90)

Remarque: Le fait que le d'alembertien du quadrivecteur potentiel s'exprime à partir du

quadrivecteur courant qui est contravariant (cf. chapitre de Relativité Restreinte) nous amène à

poser que le quadrivecteur potentiel est lui-même contravariant!

Relation que nous noterons sous une forme condensée de la manière suivante :

(37.91)

où sera appelé "quadrivecteur courant".

Remarque: Nous retrouverons ce quadrivecteur lors de notre détermination du tenseur du champ

électromagnétique (à la différence que nous serons en unités naturelles mais cela ne change pas

le fond...).

Le quadrivecteur potentiel tel que défini nous amène à pouvoir écrire la (quadrivergence) jauge

de Lorenz en faisant usage de la notation tensorielle :

(37.92)

Ce qui permet finalement d''écrire la jauge de Lorenz sous forme covariante :

(37.93)

Il s'agit donc d'une équation de la forme de celle de Klein-Gordon pour une particule de masse

nulle (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste). Donc nous pouvons dire dans un sens

que l'invariance de jauge électromagnétique est reliée au fait que la masse du photon est nulle!

Remarque: Il est utile de noter que le fait de poser (avec ou sans les unités naturelles

où ) est une notation qui sera également adoptée lors de notre étude de l'équation de Dirac

(cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste) ou encore en physique quantique de champs

(mis à part qu'il y aura une partie imaginaire).

Ces notations nous amènent enfin à pouvoir écrire :

(37.94)

Nous obtenons ainsi l'équation de continuité :

(37.95)

équivalent (sous forme) tensoriel de (voir la démonstration juste plus haut dans le texte) :

(37.96)

Pour résumer en gros... :

Un certain nombre d'effets physiques se modélisent, selon les cas, par des champs qui peuvent

être scalaires, vectoriels, spinoriels ou encore tensoriels que nous appelons donc des jauges.

Un certain nombre de phénomènes physiques s'avèrent respecter des conditions dites de

symétrie, vis à vis de ces jauges. Cette symétrie s'exprime par ce que nous appelons donc une

invariance de jauge.

Par exemple, le champ qui permet de modéliser le champ électromagnétique est comme nous

l'avons vu, un champ de quadrivecteurs formé d'un potentiel scalaire (dont le gradient est le

champ électrique ) et d'un potentiel-vecteur (dont le rotationnel est le champ

magnétique ). Ce champ quadrivectoriel qui permet de modéliser le champ

électromagnétique est appelé une jauge.

Il s'avère que nous obtenions donc exactement les même effets physiques sur un système de

particules chargées si nous remplaçons cette jauge par une autre jauge en lui rajoutant une

contrainte de Jauge (exemple typique entre la jauge de Lorenz ou de Coulomb vues plus haut).

L'invariance des lois de la physique lors du passage d'une jauge à une autre étant une

invariance de jauge. Dans le cas du champ électromagnétique, cette invariance de jauge s'avère

exprimer la conservation de la charge électrique (comme nous l'avons montré).

Mathématiquement, de tels changements de jauges s'avèrent être le résultat de l'action d'un

groupe de symétrie de dimension infinie (transformant ces jauges les unes en les autres) que

nous appelons le "groupe de jauge" de l'interaction considérée (ici l'interaction

électromagnétique).

Pour le champ gravitationnel par exemple (cf. chapitre de Relativité Restreinte), l'interaction

gravitationnelle se modélise par un champ de tenseurs symétriques de rang 2 et avec une

signature donnée. Ce champ de métrique est distribué sur une variété 4D modélisant l'espace-

temps. C'est la jauge de l'interaction gravitationnelle. D'après la relativité générale (principe

d'équivalence) nous ne changeons rien à l'interaction gravitationnelle si nous changeons le

système de coordonnées spatio-temporelles dans lequel nous exprimons la métrique. Le

passage d'une expression de la métrique à une autre en changeant de système de coordonnées

est aussi un changement de jauge. L'invariance de jauge de la relativité générale exprime alors

la possibilité de passer d'une jauge à une autre sans changer pour autant les géodésiques

suivies par des particules test tombant en chute libre dans le champ gravitationnel modélisé par

le champ de métrique.

L'invariance de jauge de la relativité générale est ce que nous appelons l'invariance par

difféomorphisme (changement de système de coordonnées bijectif présentant un certain degré

de régularité) et le groupe de jauge de la relativité générale est donc le groupe des

difféomorphisme de (appelé le "groupe souple").

Il convient de préciser aussi que le potentiel vecteur n'est peut-être pas si virtuel que ça. En

effet, il est possible de modifier les trajectoires de particules chargées passant à l'extérieur du

volume cylindrique où règne un champ magnétique induit par un courant électrique

(circulant dans l'enroulement d'un solénoïde où ce champ est "emprisonné"). Il est donc

possible d'influer sur la trajectoire de particules circulant dans une zone où le champ

magnétique est nul mais où son potentiel vecteur ne l'est pas.

Par ailleurs, nous utiliserons les résultats ici lors de notre étude de la théorie de Yang-Mills

dans la voie de l'unification électrofaible (voir le modèle standard dans le chapitre de Physique

Quantique Des Champs).

Remarque: L'expérience connue qui fait intervenir le potentiel vecteur est celle d'Aharonov-

Bohm (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

TENSEUR DU CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Afin de déterminer le tenseur du champ électromagnétique supposons dans un premier temps

que l'action (cf. chapitre de Mécanique Analytique) d'une particule chargée dans un champ

électromagnétique serait donnée par (choix à priori empirique mais... vous verrez un peu plus

loin) :

(37.97)

Remarque: La notation reste réservée à l'action d'un particule libre (cf. chapire de Relativité

Restreinte).

Le lagrangien pour une particule chargée dans un champ électromagnétique est donc la somme

du lagrangien de la particule en interaction avec le champ électromagnétique additionné du

lagrangien de la particule libre (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

(37.98)

Remarque: Il s'agit donc du lagrangien de l'interaction de la particule avec le champ additionné

du lagrangien de la masse de la particule. Dès lors on voit qu'il manque encore le lagrangien du

champ électromagnétique lui-même en l'absence de charges (appelé : lagrangien du champ libre)

mais nous verrons cela plus loin.

Ceci est donc (à priori) le lagrangien d'une particule chargée dans un champ électromagnétique.

Nous allons démontrer que ce lagrangien est correct :

Le moment généralisé est donc (cf. chapitre de Mécanique Analytique et de Relativité Restreinte)

:

(37.99)

Pour vérifier que nous avons fait le bon choix de lagrangien au départ, nous allons obtenir les

équations du mouvement et s'assurer qu'elles coïncident avec la force de Lorentz. Les équations

de Lagrange sont, dans ce cas :

(37.100)

Or nous avons :

(37.101)

et donc :

(37.102)

Mais nous avions fait remarquer lors de la définition du potentiel scalaire que d'où :

(37.103)

Nous devons donc nécessairement avoir par analogie avec la force de Lorentz :

(37.104)

Il nous faut donc avant de poursuivre vérifier que :

(37.105)

Avec :

(37.106)

En composantes :

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