Notes sur la théorie de Jauges - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa16 janvier 2014

Notes sur la théorie de Jauges - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

PDF (139 KB)
9 pages
199Numéro de visites
Description
Notes de physique sur la théorie de Jauges - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les développements, l'équation du mouvement.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 9
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document

(37.107)

Donc :

(37.108)

et comme :

(37.109)

Nous avons donc bien l'égalité :

(37.110)

Ces développements confirment donc notre hypothèse initiale comme quoi l'action du champ

peut s'écrire :

(37.111)

et qu'elle exprime l'interaction d'une particule chargée avec un champ (car on y retrouve la

force de Lorentz!).

Nous avons donc maintenant démontré que le "lagrangien de l'interaction courants-champs" :

(37.112)

dont avions supposé empiriquement la forme au début est donc finalement bien correct !

L'intégrale d'action s'écrivant alors :

(37.113)

Introduisons la vitesse de la particule sous la forme et l'intégrale s'écrit :

(37.114)

Nous avons vu en relativité restreinte que :

(37.115)

et de même :

(37.116)

Les intervalles d'espace-temps sont des invariants tel que (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(37.117)

Si le référentiel O' n'est pas en mouvement ), nous avons:

(37.118)

d'où :

(37.119)

ce qui s'écrit aussi :

(37.120)

Dès lors :

(37.121)

Faisons usage du quadrivecteur potentiel (voir plus haut) :

(37.122)

Et en faisant usage du quadrivecteur déplacement (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(37.123)

L'expression de l'action d'une particule chargée dans un champ électromagnétique et dans une

métrique de Minkowski (cf. chapitre de Relativité Restreinte et Relativité Générale) se réduit

finalement l'expression condensée :

(37.124)

avec donc :

(37.125)

sans oublier que sur ce site nous utilisons la métrique (cf. chapitre de Relativité

Restreinte et Relativité Générale).

Remarquons que l'intégrale d'action en l'absence de champ magnétique et électrique s'écrit :

(37.126)

ce qui correspond bien à ce que nous avons obtenu en relativité restreinte pour une particule

libre !

D'après le principe de moindre action, l'intégrale d'action a une variation nulle pour le

mouvement effectif de la particule, soit :

(37.127)

Remarque: De par l'égalité avec zéro, nous pouvons éliminer le signe moins devant l'intégrale.

Utilisant l'expression de l'abscisse curviligne (cf. chapitre Calcul tensoriel et de Relativité

Générale) :

(37.128)

Pour la métrique de Minkowski nous pouvons écrire (rappelons que dans la métrique

euclidienne seulement les termes de la diagonale où sont non nuls) :

(37.129)

Ainsi :

(37.130)

l'intégrale précédente s'écrit alors :

(37.131)

Cela donne en utilisant les composantes curvilignes (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

(37.132)

Intégrons par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) seulement les deux premiers

termes de l'intégrale :

(37.133)

Intégrons par parties (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel) la première intégrale :

(37.134)

Or, comme :

et (37.135)

Alors :

(37.136)

Avec :

et (37.137)

Alors :

(37.138)

Les quantités étant arbitraires, l'expression entre crochets est nulle :

(37.139)

Notons :

(37.140)

Les quantités contravariantes forment les composantes de ce que nous appelons le

"tenseur du champ électromagnétique" ou le "tenseur de Faraday" ou plus couramment le

"tenseur de Maxwell". Nous disons alors que est le "rotationnel du potentiel".

Les "équations du mouvement d'un particule dans un champ électromagnétique" prennent ainsi

la forme :

(37.141)

Remarques:

R1. La lettre F est choisie relativement au physicien Faraday.

R2. Certains physiciens appellent cette relation : "géodésique corrigée par une force de Lorentz"

(ce qui n'est au fond pas faux)

R3. Le tenseur de champ électromagnétique est invariant sous les transformations :

(37.142)

Effectivement :

(37.143)

Dans une métrique de Minkowski (nous allons avoir besoin du tenseur de champ

électromagnétique dans le chapitre de Relativité Restreinte, d'où le choix de cette métrique),

nous avons cependant :

(37.144)

Ce qui donne :

(37.145)

Le terme est traditionnellement toujours notée (même s'il n'est pas plus

totalement contravariant).

Il nous reste à déterminer les composantes du tenseur contravariant (tenseur qui a la

propriété d'être antisymétrique tel que ).

Commençons par le plus simple. Nous supposerons comme évident que :

(37.146)

Ensuite, en se rappelant que :

(37.147)

D'où (rappelons que la métrique de Minkowski est du type ) :

(37.148)

Ce qui nous donne pour l'instant :

(37.149)

Maintenant, étant connu que et les autres composantes du

tenseur s'écrivent compte tenu de :

(37.150)

et donc :

(37.151)

ainsi, avec les dérivées partielles contravariantes selon la métrique de Minkowski :

(37.152)

Ainsi, nous avons :

(37.153)

Mais comme nous le verrons en relativité restreinte, le vrai tenseur du champ

électromagnétique est être défini par :

(37.154)

afin que les transformées de Lorentz soient conformes.

Ce qui fait que l'équation du mouvement est finalement :

(37.155)

L'expression sous forme tensorielle du champ électromagnétique met bien en évidence l'unité

du champ électromagnétique alors que généralement les champs électrique et magnétique sont

considérés séparément en théorique classique.

Mais comme en physique théorique nous travaillons souvent en unités naturelles (c'est un peu

la norme...), nous avons alors :

(37.156)

et donc l'équation du mouvement :

(37.157)

En notant maintenant les composantes de 1 à 4 au lieu de 0 à 3 (c'est plus facile pour les élèves

de se repérer dans la matrice) et sans oublier que les dérivées partielles sont covariantes et en

adoptant, à nouveau, les unités naturelles tel que (in extenso ), les deux

équations de Maxwell avec sources s'écrivent :

(37.158)

En utilisant le tenseur du champ électromagnétique, il apparaît alors remarquablement que ces

deux équations peuvent être écrites sous la forme de l'équation tensorielle condensée suivante

:

(37.159)

où est le "quadrivecteur courant" défini par (en unités naturelles!) :

(37.160)

En utilisant la première définition du tenseur de Faraday (celle où les composantes du champ

sont divisées parc)et en prenant pour connu (nous le démontrerons plus tard)

que nous avons dans le système SI :

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document